必學4平面向量(講義和練習)(編輯修改稿)
2025-05-13 23:21 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 向量的起點公共時，用平行四邊形法則；當兩向量是首尾連接時，用三角形法則．向量加法的三角形法則可推廣至多個向量相加：，但這時必須“首尾相連”．（3）向量的數(shù)乘運算：實數(shù)與向量的積是一個向量，所得的結果表示：在的方向（或的相反方向）取倍構成一個新向量，記作。的長度與方向規(guī)定如下：① ；② 當時，的方向與的方向相同；當時，的方向與的方向相反；當時，方向是任意的③ 數(shù)乘向量滿足交換律、結合律與分配律：， ， 向量的投影和數(shù)量積：(1) 兩個向量的數(shù)量積：已知兩個非零向量與，它們的夾角為，則=︱︱︱︱cos叫做與的數(shù)量積（或內(nèi)積） 規(guī)定(2) 向量的投影：︱︱cos=∈R，稱為向量在方向上的投影投影的絕對值稱為射影(3) 數(shù)量積的幾何意義： 等于的長度與在方向上的投影的乘積(4)、向量的模與平方的關系：（5）、乘法公式成立： ；（6）平面向量數(shù)量積的運算律：①交換律成立：②對實數(shù)的結合律成立：③分配律成立：特別注意：（1）結合律不成立：；（2）消去律不成立不能得到（3）=0不能得到=或=向量的坐標運算：（1）已知起點和終點的坐標，求向量坐標: 已知，則， 即終點坐標減去起點坐標。（2）已知向量的坐標，求向量的模: 已知，則=；已知，則，此時，本公式等價于“兩點間距離公式: 已知則”。（3）已知兩個向量的坐標，求這兩個向量加減、數(shù)乘和數(shù)量積：①加減：已知，則，即對應橫縱坐標相加減。②數(shù)乘：已知，則，即倍數(shù)對坐標作分配。③數(shù)量積：已知，則，即對應坐標之積再相加。（4）已知兩個向量的坐標，求這兩個向量的夾角或夾角余弦值：已知，則。 向量的夾角已知兩個非零向量與，作=, =,則∠AOB= （）叫做向量與的夾角，記為。注意 ① 研究向量夾角時，必須將兩個向量的起點移動到同一點上；② 當且僅當兩個非零向量與同方向時，③ 當且僅當與反方向時④ 與其它任何非零向量之間不談夾角這一問題⑤ cos==⑥ 向量夾角與數(shù)量積的關系： 當為銳角時，＞0（反之不成立，因為數(shù)量積為正數(shù)的兩個向量不一定構成銳角，可能是平行且同向）；當為鈍角時，＜0。（反之不成立，因為數(shù)量積為負數(shù)的兩
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