【文章內容簡介】 ）小題的結果，建立關于a的不等式組，由此可確定a的范圍.【解】　(Ⅰ)由f(x)＝x3＋ax2＋x＋1，求導得f162。(x)＝3x2＋2ax＋1，當a2≤3時，△＝4(a2－3)≤0，f162。(x)≥0，f(x)在R上遞增，當a2＞3，f162。(x)＝求得兩根為x＝，則函數(shù)f(x)在區(qū)間(－∞，)上遞增，在區(qū)間(，)上遞減，在區(qū)間(，＋∞)上遞增.(Ⅱ)由(Ⅰ)得，且a2＞3，解得a≥2.【點評】　，因此解答第(Ⅰ)(Ⅱ)小題的解答是根據(jù)第(Ⅰ)小題的結果，(Ⅱ)小題還是利用函數(shù)在已知區(qū)間上減函數(shù)建立不等式來求解.題型三　求函數(shù)的極值問題極值點的導數(shù)一定為0，但導數(shù)為0的點不一定是極值點，：(1)根據(jù)函數(shù)解析式求極值；(2).【例4】　(08四川)設x＝1和x＝2是函數(shù)f(x)＝x5＋ax3＋bx＋1的兩個極值點.(Ⅰ)求a和b的值；(Ⅱ)略.【分析】　先求導函數(shù)f162。(x)，然后由x＝1和x＝2是f162。(x)＝0的兩個根建立關于a、b的方程組求解.【解】　因為f162。(x)＝5x4＋3ax2＋b，由x＝1和x＝2是函數(shù)f(x)＝x5＋ax3＋bx＋1的兩個極值點，所以f162。(1)＝0，且f162。(2)＝0，即，解得a＝，b＝20.【點評】　解答本題要明確極值點與導函數(shù)方程之間的關系：對于三次函數(shù)極值點的導數(shù)一定為0，通過建立方程組求得了a和b的值.【例5】　(08陜西高考)已知函數(shù)f(x)＝(c＞0，且c≠1，k∈R）恰有一個極大值點和一個極小值點，其中一個是x＝－c．(Ⅰ)求函數(shù)f(x)的另一個極值點；(Ⅱ)求函數(shù)f(x)的極大值M和極小值m，并求M－m≥1時k的取值范圍．【分析】　先求導函數(shù)f162。(x)，然后令f162。(－c)＝0及一元二次方程根與系數(shù)的關系可解決第（Ⅰ）小題；而解答第（Ⅱ）小題須對k與c進行分類討論進行解答.【解】　(Ⅰ)f162。(x)＝＝，由題意知f162。(－c)＝0，即得c2k－2c－ck＝0，即c＝1＋ （*）∵c≠0，∴k≠0．由f162。(0)＝0，得－kx2－2x＋ck＝0，由韋達定理知另一個極值點為x＝1．(Ⅱ)由（*）式得c＝1＋，當c＞1時，k＞0；當0＜c＜1時，k＜－2．(ⅰ)當k＞0時，f(x)在(－∞，－c)和(1，＋∞)內是減函數(shù)，在(－c，1)內是增函數(shù)．f(1)＝＝＞0，m＝f(－c)＝＝＜0，由M－m＝＋≥1及k＞0，解得k≥.(ⅱ)當k＜－2時，f(x)在(－∞，－c)和(1，＋∞)內是增函數(shù)，在(－c，1)內是減函數(shù)．∴M＝f(1)＝＞0，m＝＝＜0，而M－m＝－＝1－≥1恒成立．綜上可知，所求的取值范圍為(－∞，－2)∪[，＋∞)．【點撥】　第(Ⅰ)(Ⅱ)小題的是與極值相關的解決恒成立問題，因此求函數(shù)在定義域上的極值是解答的關鍵.題型四　求解函數(shù)的最值問題函數(shù)在閉區(qū)間上的最值是比較所有極值點與端點的函數(shù)值所得結果，因此函數(shù)在閉區(qū)間[a，b]上的端點函數(shù)值一定不是極值，函數(shù)的極值不一定是函數(shù)的最值，：(1)根據(jù)函數(shù)的解析式求函數(shù)的最大值；(2)根據(jù)函數(shù)在一個區(qū)間上的最值情況求解參數(shù)問題.【例6】　(08浙江高考)已知a是實數(shù)，函數(shù)f(x)＝x2(x－a).(Ⅰ)略；（Ⅱ）求f(x)在區(qū)間[0，2]上的最大值.【分析】　首先求函數(shù)f162。(x)，再解方程f162。(x)＝0，得兩個根，而兩根含有參數(shù)，但不知兩根的大小，因此須分類討論討論函數(shù)f(x)的單調區(qū)間，進而確定f(x)在給定區(qū)間上的最大值.【解】　(Ⅱ)f162。(x)＝3x2－2ax．令f162。(x)＝0，解得x1＝0，x2＝．當≤0，即a≤0時，f(x)在[0，2]上單調遞增，從而f(x)max＝f(2)＝8－4a．當≥2，時，即a≥3時，f(x)在[0，2]上單調遞減，從而f(x)max＝f(0)＝0．當0＜＜2，即0＜a＜3，f(x)在[0，]上單調遞減，在[，2]上單調遞增，從而f(x)max＝，綜上所述，f(x)max＝.【點評】　本題由于函數(shù)解析式中含有參數(shù)，因此方程f162。(x)＝0的根含有參數(shù)，再比較其與區(qū)間端點值的大小來求解的，而是利用函數(shù)單調性來求函數(shù)在各單調區(qū)間上的最值，再比較這些最值大小來求解的.題型五　導數(shù)與數(shù)學建模的問題此類試題主要是利用函數(shù)、不等式與導數(shù)相結合設計實際應用問題，旨在考查考生在數(shù)學應用方面閱讀、理解陳述的材料，能綜合應用所學數(shù)學知識、思想和方法解決實際問題的能力，這是高考中的一個熱點.【例7】　(08湖北)水庫的蓄水量隨時間而變化，現(xiàn)用表示時間，以月為單位，年初為起點，根據(jù)歷年數(shù)據(jù)，某水庫的蓄水量（單位：億立方米）關于t的近似函數(shù)關系式為V(t)＝，(Ⅰ)－1＜t＜i表示第1月份（i＝1，2，…，12）,同一年內哪幾個月份是枯水期？(Ⅱ)求一年內該水庫的最大蓄水量（取e＝）.20090318【分析】　根據(jù)解答分段函數(shù)“對號入座”的解題原則，分別利用兩段函數(shù)表達式建立不等式可求得第（Ⅰ）小題；而第（Ⅱ）小題則須先求函數(shù)V162。(t)，然后利用導數(shù)與函數(shù)最值關系求解.【解】　(Ⅰ)①當0＜t≤10時，V(t)＝(－t2＋14t－40)e＋50＜50，化簡得t2－14t＋40＞0，解得t＜4或t＞10，又0＜t≤10，故0＜t＜4.②當10＜t≤12時，V(t)＝4(t－10)(3t－41)＋50＜50，化簡得(t－10)(3t－41)＜0，解得10＜t＜，又10＜t≤12,故10＜t≤12.綜合得0＜t＜4,或10＜t≤12；故知枯水期為1月，2月，3月，11月，12月共5個月.(Ⅱ)由(Ⅰ)知：V(t)的最大值只能在（4，10）內達到.由V162。(t)＝e(－t＋t＋4)＝－e(t＋2)(t－8)令V162。(t)＝0，解得t＝8(t＝－2舍去).當t變化時，V162。(t)與V(t)的變化情況如下表：t(4，8)8(8，10)V162。(t)＋0－V(t) ↗極大值↘由上表，V(t)在t＝8時取得最大值V(8)＝8e2＋50＝(億立方米)..【點評】　本題第(Ⅰ)主要是根據(jù)題設條件給出的函數(shù)建立不等式，再解不等式，(Ⅱ)主要是通過求導取得極值，最后再求得最值的，但要注意要根據(jù)第(Ⅰ)確定函數(shù)定義域.【例8】　（2006年福建卷）統(tǒng)計表明，某種型號的汽車在勻速行駛中每小時耗油量y（升）關于行駛速度x（千米/小時）的函數(shù)解析式可以表示為：y=x2－x+8 (0＜x≤120).已知甲、乙兩地相距100千米.（Ⅰ）當汽車以40千米/小時的速度勻速行駛時，從甲地到乙地要耗油多少升？（Ⅱ）當汽車以多大的速度勻速行駛時，從甲地到乙地耗油最少？最少為多少升？【分析】　第（Ⅰ）小題直接根據(jù)所給函數(shù)的解析式進行計算；第（Ⅱ）小題須根據(jù)條件建立耗油量為h(x)關于行駛速度x的函數(shù)關系式，再利用導數(shù)的知識進行解答.【解】　（I）當x=40時，汽車從甲地到乙地行駛了=， 要耗沒(403－40+8)=（升）.答：當汽車以40千米/小時的速度勻速行駛時，. （II）當速度為x千米/小時時，汽車從甲地到乙地行駛了小時，設耗油量為h(x)升，依題意得h(x)=(x3－x+8)=x2+－(0＜x≤120)， h162。(x)=－=(0＜x≤120)，令h162。(x)=0得x=80， 當x∈(0,80)時，h162。(x)＜0,h(x)是減函數(shù)；當x∈(80,120)時，h162。(x)＞0,h(x)是增函數(shù), ∴當x=80時，h(x)取到極小值h(80)=,因為h(x)在(0,120]上只有一個極值，所以它是最小值.答：當汽車以80千米/小時的速度勻速行駛時，從甲地到乙地耗油最少，.【點評】　解答類似于本題的問題時，可從給定的數(shù)量關系中選取一個恰當?shù)淖兞?，建立函?shù)模型，然后根據(jù)目標函數(shù)的結構特征(非常規(guī)函數(shù))，確定運用導數(shù)最值理論去解決問題.【專題訓練】一、選擇題1．函數(shù)f(x)＝x3＋ax2＋3x－9，已知f(x)有兩個極值點x1，x2，則x1x2＝ （ ）A．9 B．－9 C．1 D．－12．函數(shù)f(x)＝x3＋ax＋1在(－∞，－1)上為增函數(shù)，在(－1，1)上為減函數(shù)，則f(1)為（ ）A． B．1 C． D．－13．函數(shù)f(x)＝x3－3ax－a在(0，1)內有最小值，則a的取值范圍為 （ ）A．0≤a＜1 B．0＜a＜1 C．－1＜a＜1 D．0＜a＜4．已知函數(shù)f(x)＝x2(ax＋b)(a，b∈R)在x＝2時有極值，其圖象在點(1，(1))處的切線與直線3x＋y＝0平行，則函數(shù)f(x)的單調減區(qū)間為 （ ）A．(－∞，0) B．(0，2) C．(2，＋∞) D．(－∞，＋∞)5．函數(shù)y＝f(x)在定義域(－，3)內可導，＝f(x)的導函數(shù)為y＝f162。(x)，則不等式f162。(x)≤0的解集為 （ ）A．[－，1]∪[2，3) B．[－1，]∪[，]C．[－，]∪[1，2) D．(－，－]∪[，]∪[，3)6．設函數(shù)f(x)＝sin(ωx＋)－1(ω＞0)的導數(shù)f162。(x)的最大值為3，則f(x)的圖象的一條對稱軸的方程是 （ ）A．x＝ B．x＝ C．x＝ D．x＝7．函數(shù)f(x)的定義域為開區(qū)間(a，b)，導函數(shù)f162。(x)在(a，b)(x)在開區(qū)間(a，b)內有極小值點 （ ）A．1個B．2個C．3個D．4個8．函數(shù)f(x)(x∈R)的圖象如圖所示，則函數(shù)g(x)＝f(logax)(0＜a＜1)的單調減區(qū)間是（ ）A．[0，] B．(－∞，0)∪[，＋∞)C．[，1] D．[，]8．函數(shù)y＝xcosx－sinx在下面哪個區(qū)間內是增函數(shù)（ ）A．(，) B．(π，2π)C．(，) D．(2π，3π)9．下列圖象中，有一個是函數(shù)f(x)＝x3＋ax2＋(a2－1)x＋1(a∈R，a≠0)的導函數(shù)f162。(x)的圖象，則f(－1)等于 （ ） A． B．－ C． D．－或11．已知對任意實數(shù)，有f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x)，且x＞0時，f162。(x)＞0，g162。(x)＞0，則x＜0時 （ ）A．f162。(x)＞0，g162。(x)＞0 B．f162。(x)＞0，g162。(x)＜0C．f162。(x)＜0，g162。(x)＞0 D．f162。(x)＜0，g162。(x)＜012．若函數(shù)y＝f(x)在R上可導，且滿足不等式xf162。(x)＞－f(x)恒成立，且常數(shù)a，b滿足a＞b，則下列不等式一定成立的是 （ ）A．a(chǎn)f(b)＞bf(a) B．a(chǎn)f(a)＞bf(b) C．a(chǎn)f(a)＜bf(b) D．a(chǎn)f(b)＜bf(a)二、填空題13．右圖是一個三次多項式函數(shù)f(x)的導函數(shù)f162。(x)的圖象， 則當x＝______時，函數(shù)取得最小值.14．已知函數(shù)f(x)＝x3－x2＋2x＋1，且x1，x2是f(x)的兩 個極值點，0＜x1＜1＜x2＜3，則a的取值范圍_________.15．已知函數(shù)f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d在區(qū)間[－1，2]上是減函數(shù)，那么b＋c最大值為___________.16．曲線y＝2x4上的點到直線y＝－x－1的距離的最小值為____________.三、解答題17．設函數(shù)f(x)＝2x3－3(a－1)x2＋1，其中a≥1.(Ⅰ)求f(x)的單調區(qū)間；(Ⅱ)討論f(x)的極值.18．已知定義在R上的函數(shù)f(x)＝x2(ax－3)，其中a為常數(shù).(Ⅰ)若x＝1是函數(shù)f(x)的一個極值點，求a的值；(Ⅱ)若函數(shù)f(x)在區(qū)間（－1，0）上是增函數(shù)，求a的取值范圍.19．已知函數(shù)f(x)＝x3＋bx2＋ax＋d的圖象過點P（0，2），且在點M（－1，f（－1））處的切線方程為6xy+7=0.（Ⅰ）求函數(shù)y=f(x)的解析式；（Ⅱ）求函數(shù)y=f(x)的單調區(qū)間.20．設函數(shù)f(x)＝(x＋1)ln(x＋1)，若對所有的x≥0，都有f(x)≥ax成立，求實數(shù)a的取值范圍．21．已知函數(shù)f(x)＝－x2＋8x，g(x)＝6lnx＋m.（Ⅰ）求f(x)在區(qū)間[t，t＋1]上的最大值h(t)；（Ⅱ）是否存在實數(shù)m，使得y＝f(x)的圖象與y＝g(x)的圖象有且只有三個不同的交點？若存在，求出m的取值范圍；，若不存在，說明理由。22．已知函數(shù)f(x)＝logax＋2x和g(x)＝2loga(2x＋t－2)＋2x(a＞0，a≠1，t∈R)的圖象在x＝2處的切線互相平行.(Ⅰ)求t的值；(Ⅱ)設F(x)＝g(x)－f(x)，當x∈[1，4]時，F(xiàn)(x)≥2恒成立，求a的取值范圍.【專題訓練】參考答案一、選擇題1．D 【解析】f162。(x)＝3x2＋2ax＋3，則x1x2＝1.2．C 【解析】∵f162。(x)＝x2＋a，又f162。(－1)＝0，∴a＝－1，f(1)＝－1＋1＝.3．B 【解析】f162。(x)＝3x2－3a，由于f(x)在(0，1)內有最小值，故a＞0，且f162。(x)＝0的解為x1＝，x2＝－，則∈(0，1)，∴0＜a＜1.4．B 【解析】∵f(x)＝ax3＋bx2，f′(x)＝3ax2＋2bx，∴，即，令f162。(x)＝3x2－6x＜0，則0＜x＜2，即選B.5．A 【解析】由條件f162。(x)≤0知，選擇f(x)圖象的下降區(qū)間即為解.6．A 【解析】f162。(x)＝ωcos(ωx＋)，則ω＝3，則由3x＋＝2kπ＋，即x＝kπ＋(k∈Z)，由此可知x＝為f(x)的圖象的一條對稱軸.7．A 【解