中線倍長法及截長補短經(jīng)典講義(編輯修改稿)
2025-05-13 13:18 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 是鄰補角，即證明∠BCP=∠EAP，因而此題適用“補短”進行全等三角形的構(gòu)造.證明：過點P作PE垂直BA的延長線于點E，如圖32∵∠1=∠2，且PD⊥BC，∴PE=PD，在Rt△BPE與Rt△BPD中，圖32∴Rt△BPE≌Rt△BPD(HL),∴BE=BD.∵AB+BC=2BD，∴AB+BD+DC=BD+BE，∴AB+DC=BE即DC=BEAB=AE.在Rt△APE與Rt△CPD中,圖41∴Rt△APE≌Rt△CPD(SAS),∴∠PAE=∠PCD又∵∠BAP+∠PAE=180176。,∴∠BAP+∠BCP=180176。例4. 已知：如圖41，在△ABC中，∠C＝2∠B，∠1＝∠2.求證：AB=AC+CD.分析：從結(jié)論分析，“截長”或“補短”都可實現(xiàn)問題的轉(zhuǎn)化，即延長AC至E使CE=CD，或在AB上截取AF=AC.圖42證明：方法一（補短法）延長AC到E，使DC=CE，則∠CDE＝∠CED，如圖42∴∠ACB＝2∠E，∵∠ACB＝2∠B，∴∠B＝∠E，在△ABD與△AED中,圖43∴△ABD≌△AED（AAS）,∴AB=AE.又AE=AC+CE=AC+DC，∴AB=AC+DC.方法二（截長法）在AB上截取AF=AC，如圖43在△AFD與△ACD中,∴△AFD≌△ACD（SAS）,∴DF=DC，∠AFD＝∠ACD.又∵∠ACB＝2∠B，∴∠FDB＝∠B，∴FD=FB.∵AB=AF+FB=AC+FD，∴AB=AC+CD. 上述兩種方法在實際應用中，時常是互為補充，但應結(jié)合具體題目恰當選擇合適思路進行分析。讓掌握學生掌握好“截長補短法”對于更好的理解數(shù)學中的化歸思想有較大的幫助。作業(yè)：已知：如圖，ABCD是正方形，∠FAD=∠FAE. 求證：BE+DF=AE.五邊形ABCDE中，AB=AE，BC+DE=CD，∠ABC+∠AED=180176。，求證：AD平分∠CDE（三）其它幾種常見的形式：有角平分線時，通常在角的兩邊截取相等的線段，構(gòu)造全等三角形。例如圖1：已知AD為△ABC的中線，且∠1＝∠2,∠3＝∠4,求證：BE＋C
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