【文章內(nèi)容簡介】 長度的差等于PQ的長．【考點】正方形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)．【分析】（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)得出AD=BA，∠BAQ=∠ADP，再根據(jù)已知條件得到∠AQB=∠DPA，判定△AQB≌△DPA并得出結(jié)論；（2）根據(jù)AQ﹣AP=PQ和全等三角形的對應邊相等進行判斷分析．【解答】解：（1）∵正方形ABCD∴AD=BA，∠BAD=90176。，即∠BAQ+∠DAP=90176?！逥P⊥AQ∴∠ADP+∠DAP=90176?！唷螧AQ=∠ADP∵AQ⊥BE于點Q，DP⊥AQ于點P∴∠AQB=∠DPA=90176?！唷鰽QB≌△DPA（AAS）∴AP=BQ（2）①AQ﹣AP=PQ②AQ﹣BQ=PQ③DP﹣AP=PQ④DP﹣BQ=PQ【例4】如圖，在△ABC中，AD和BE是高，∠ABE=45176。，點F是AB的中點，AD與FE、BE分別交于點G、H，∠CBE=∠BAD．有下列結(jié)論：①FD=FE；②AH=2CD；③BC?AD=AE2；④S△ABC=4S△ADF．其中正確的有（　　）A．1個B．2 個C．3 個D．4個【考點】相似三角形的判定與性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)．【分析】由直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)得出FD=AB，證明△ABE是等腰直角三角形，得出AE=BE，證出FE=AB，延長FD=FE，①正確；證出∠ABC=∠C，得出AB=AC，由等腰三角形的性質(zhì)得出BC=2CD，∠BAD=∠CAD=∠CBE，由ASA證明△AEH≌△BEC，得出AH=BC=2CD，②正確；證明△ABD～△BCE，得出=，即BC?AD=AB?BE，再由等腰直角三角形的性質(zhì)和三角形的面積得出BC?AD=AE2；③正確；由F是AB的中點，BD=CD，得出S△ABC=2S△ABD=4S△ADF．④正確；即可得出結(jié)論．【解答】解：∵在△ABC中，AD和BE是高，∴∠ADB=∠AEB=∠CEB=90176。，∵點F是AB的中點，∴FD=AB，∵∠ABE=45176。，∴△ABE是等腰直角三角形，∴AE=BE，∵點F是AB的中點，∴FE=AB，∴FD=FE，①正確；∵∠CBE=∠BAD，∠CBE+∠C=90176。，∠BAD+∠ABC=90176。，∴∠ABC=∠C，∴AB=AC，∵AD⊥BC，∴BC=2CD，∠BAD=∠CAD=∠CBE，在△AEH和△BEC中，∴△AEH≌△BEC（ASA），∴AH=BC=2CD，②正確；∵∠BAD=∠CBE，∠ADB=∠CEB，∴△ABD～△BCE，∴=，即BC?AD=AB?BE，∵AE2=AB?AE=AB?BE，BC?AD=AC?BE=AB?BE，∴BC?AD=AE2；③正確；[來源:學科網(wǎng)]∵F是AB的中點，BD=CD，∴S△ABC=2S△ABD=4S△ADF．④正確；故選：D．【變式練習】如圖，在正方形ABCD中，E、F分別為BC、CD的中點，連接AE，BF交于點G，將△BCF沿BF對折，得到△BPF，延長FP交BA延長線于點Q，下列結(jié)論正確的個數(shù)是（　?。貯E=BF；②AE⊥BF；③sin∠BQP=；④S四邊形ECFG=2S△BGE．A．4 B．3 C．2 D．1【考點】四邊形綜合題．【分析】首先證明△ABE≌△BCF，再利用角的關系求得∠BGE=90176。，即可得到①AE=BF；②AE⊥BF；△BCF沿BF對折，得到△BPF，利用角的關系求出QF=QB，解出BP，QB，根據(jù)正弦的定義即可求解；根據(jù)AA可證△BGE與△BCF相似，進一步得到相似比，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可求解．【解答】解：∵E，F(xiàn)分別是正方形ABCD邊BC，CD的中點，∴CF=BE，在△ABE和△BCF中，∴Rt△ABE≌Rt△BCF（SAS），∴∠BAE=∠CBF，AE=BF，故①正確；又∵∠BAE+∠BEA=90176。，∴∠CBF+∠BEA=90176。，∴∠BGE=90176。，∴AE⊥BF，故②正確；根據(jù)題意得，F(xiàn)P=FC，∠PFB=∠BFC，∠FPB=90176?！逤D∥AB，∴∠CFB=∠ABF，∴∠ABF=∠PFB，∴QF=QB，令PF=k（k＞0），則PB=2k在Rt△BPQ中，設QB=x，∴x2=（x﹣k）2+4k2，∴x=，∴sin=∠BQP==，故③正確；∵∠BGE=∠BCF，∠GBE=∠CBF，∴△BGE∽△BCF，∵BE=BC，BF=BC，∴BE：BF=1：，∴△BGE的面積：△BCF的面積=1：5，∴S四邊形ECFG=4S△BGE，故④錯誤．故選：B．在矩形ABCD中，AD=2AB=4，E是AD的中點，一塊足夠大的三角板的直角頂點與點E重合，將三角板繞點E旋轉(zhuǎn)，三角板的兩直角邊分別交AB，BC（或它們的延長線）于點M，N，設∠AEM=α（0176。＜α＜90176。），給出下列四個結(jié)論：①AM=CN；②∠AME=∠BNE；③BN﹣AM=2；④S△EMN=．上述結(jié)論中正確的個數(shù)是（　　）A．1 B．2 C．3 D．4【考點】全等三角形的判定與性質(zhì)；旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)．【分析】①作輔助線EF⊥BC于點F，然后證明Rt△AME≌Rt△FNE，從而求出AM=FN，所以BM與CN的長度相等．②由①Rt△AME≌Rt△FNE，即可得到結(jié)論正確；③經(jīng)過簡單的計算得到BN﹣AM=BC﹣CN﹣AM=BC﹣BM﹣AM=BC﹣（BM+AM）=BC﹣AB=4﹣2=2，④用面積的和和差進行計算，用數(shù)值代換即可．【解答】解：①如圖，在矩形ABCD中，AD=2AB，E是AD的中點，作EF⊥BC于點F，則有AB=AE=EF=FC，∵∠AEM+∠DEN=90176。，∠FEN+∠DEN=90176。，∴∠AEM=∠FEN，在Rt△AME和Rt△FNE中，∴Rt△AME≌Rt△FNE，∴AM=FN，∴MB=CN．∵AM不一定等于CN，∴AM不一定等于CN，∴①錯誤，②由①有Rt△AME≌Rt△FNE，∴∠AME=∠BNE，∴②正確，③由①得，BM=CN，∵AD=2AB=4，∴BC=4，AB=2∴BN﹣AM=BC﹣CN﹣AM=BC﹣BM﹣AM=BC﹣（BM+AM）=BC﹣AB=4﹣2=2，∴③正確，④如圖，由①得，CN=CF﹣FN=2﹣AM，AE=AD=2，AM=FN∵tanα=，∴AM=AEtanα∵cosα==，∴cos2α=，∴=1+=1+（）2=1+tan2α，∴=2（1+tan2α）∴S△EMN=S四邊形ABNE﹣S△AME﹣S△MBN=（AE+BN）AB﹣AEAM﹣BNBM=（AE+BC﹣CN）2﹣AEAM﹣（BC﹣CN）CN=（AE+BC﹣CF+FN）2﹣AEAM﹣（BC﹣2+AM）（2﹣AM）=AE+BC﹣CF+AM﹣AEAM﹣（2+AM）（2﹣AM）=AE+AM﹣AEAM+AM2=AE+AEtanα﹣AE2tanα+AE2tan2α=2+2tanα﹣2tanα+2tan2α=2（1+tan2α）=．∴④正確．故選C．【點評】此題是全等三角形的性質(zhì)和判定題，主要考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，圖形面積的計算銳角三角函數(shù)，解本題的關鍵是Rt△AME≌Rt△FNE，難點是計算S△EMN．【例5】如圖1，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝ 90176。，AB＝AC，四邊形ADEF是正方形，點B、C分別在邊AD、AF上，此時BD＝CF，BD⊥CF成立． (1)當△ABC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)θ（0176。＜θ＜90176。）時，如圖2，BD＝CF成立嗎？若成立，請證明；若不成立，請說明理由． (2)當△ABC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)45176。時，如圖3，延長DB交CF于點H. ①求證：BD⊥CF； ②當AB＝2，AD＝3時，求線段DH的長．【知識點】等腰三角形——等腰三角形的現(xiàn)性質(zhì)、特殊的平行四邊形——正方形的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)——旋轉(zhuǎn)的特性、全等三角形——全等三角形的判判定和性質(zhì)、相似三角形——相似三角形的判判定和性質(zhì)【思路分析】（1）先用“SAS”證明△CAF≌△BAD,再用全等三角形的性質(zhì)即可得BD＝CF成立；（2）利用△HFN與△AND的內(nèi)角和以及它們的等角，得到∠NHF＝90176。,即可得①的結(jié)論；（3）連接DF，延長AB，與DF交于點M，利用△BMD∽△FHD求解.【解答】(l)解：BD＝CF成立．證明：∵AC＝AB，∠CAF＝∠BAD＝θ。AF＝AD,△ABD≌△ACF,∴BD＝CF.(2)①證明：由