【文章內容簡介】 當BE=BC時，求∠CDO的大?。究键c】MC：切線的性質．菁優(yōu)網(wǎng)版權所有【分析】（1）根據(jù)切線的性質：圓的切線垂直于經過切點的半徑，得∠TAB=90176。，根據(jù)三角形內角和得∠T的度數(shù)，由直徑所對的圓周角是直角和同弧所對的圓周角相等得∠CDB的度數(shù)；（2）如圖②，連接AD，根據(jù)等邊對等角得：∠BCE=∠BEC=65176。，利用同圓的半徑相等知：OA=OD，同理∠ODA=∠OAD=65176。，由此可得結論．【解答】解：（1）如圖①，連接AC，∵AT是⊙O切線，AB是⊙O的直徑，∴AT⊥AB，即∠TAB=90176。，∵∠ABT=50176。，∴∠T=90176。﹣∠ABT=40176。，由AB是⊙O的直徑，得∠ACB=90176。，∴∠CAB=90176。﹣∠ABC=40176。，∴∠CDB=∠CAB=40176。；（2）如圖②，連接AD，在△BCE中，BE=BC，∠EBC=50176。，∴∠BCE=∠BEC=65176。，∴∠BAD=∠BCD=65176。，∵OA=OD，∴∠ODA=∠OAD=65176。，∵∠ADC=∠ABC=50176。，∴∠CDO=∠ODA﹣∠ADC=65176。﹣50176。=15176。．【點評】本題考查了圓的切線、圓周角定理、等腰三角形的性質、三角形的內角和，熟練掌握切線的性質是關鍵，注意運用同弧所對的圓周角相等．　13．（2017?山西）如圖，△ABC內接于⊙O，且AB為⊙O的直徑，OD⊥AB，與AC交于點E，與過點C的⊙O的切線交于點D．（1）若AC=4，BC=2，求OE的長．（2）試判斷∠A與∠CDE的數(shù)量關系，并說明理由．【考點】MC：切線的性質；KQ：勾股定理；S9：相似三角形的判定與性質．菁優(yōu)網(wǎng)版權所有【分析】（1）由圓周角定理得出∠ACB=90176。，由勾股定理求出AB==2，得出OA=AB=，證明△AOE∽△ACB，得出對應邊成比例即可得出答案；（2）連接OC，由等腰三角形的性質得出∠1=∠A，由切線的性質得出OC⊥CD，得出∠2+∠CDE=90176。，證出∠3=∠CDE，再由三角形的外角性質即可得出結論．【解答】解：（1）∵AB為⊙O的直徑，∴∠ACB=90176。，在Rt△ABC中，由勾股定理得：AB===2，∴OA=AB=，∵OD⊥AB，∴∠AOE=∠ACB=90176。，又∵∠A=∠A，∴△AOE∽△ACB，∴，即，解得：OE=；（2）∠CDE=2∠A，理由如下：連接OC，如圖所示：∵OA=OC，∴∠1=∠A，∵CD是⊙O的切線，∴OC⊥CD，∴∠OCD=90176。，∴∠2+∠CDE=90176。，∵OD⊥AB，∴∠2+∠3=90176。，∴∠3=∠CDE，∵∠3=∠A+∠1=2∠A，∴∠CDE=2∠A．【點評】本題考查了切線的性質、圓周角定理、勾股定理、相似三角形的判定與性質、等腰三角形的性質、直角三角形的性質、三角形的外角性質；熟練掌握圓周角定理和切線的性質是解決問題的關鍵．　14．（2017?郴州）如圖，AB是⊙O的弦，BC切⊙O于點B，AD⊥BC，垂足為D，OA是⊙O的半徑，且OA=3．（1）求證：AB平分∠OAD；（2）若點E是優(yōu)弧上一點，且∠AEB=60176。，求扇形OAB的面積．（計算結果保留π）【考點】MC：切線的性質；MO：扇形面積的計算．菁優(yōu)網(wǎng)版權所有【分析】（1）連接OB，由切線的性質得出OB⊥BC，證出AD∥OB，由平行線的性質和等腰三角形的性質證出∠DAB=∠OAB，即可得出結論；（2）由圓周角定理得出∠AOB=120176。，由扇形面積公式即可得出答案．【解答】（1）證明：連接OB，如圖所示：∵BC切⊙O于點B，∴OB⊥BC，∵AD⊥BC，∴AD∥OB，∴∠DAB=∠OBA，∵OA=OB，∴∠OAB=∠OBA，∴∠DAB=∠OAB，∴AB平分∠OAD；（2）解：∵點E是優(yōu)弧上一點，且∠AEB=60176。，∴∠AOB=2∠AEB=120176。，∴扇形OAB的面積==3π．【點評】本題考查了切線的性質、等腰三角形的性質、平行線的性質、圓周角定理、扇形面積公式等知識；熟練掌握切線的性質和圓周角定理是解決問題的關鍵．　15．（2017?宜昌）已知，四邊形ABCD中，E是對角線AC上一點，DE=EC，以AE為直徑的⊙O與邊CD相切于點D．B點在⊙O上，連接OB．（1）求證：DE=OE；（2）若CD∥AB，求證：四邊形ABCD是菱形．【考點】MC：切線的性質；L9：菱形的判定．菁優(yōu)網(wǎng)版權所有【分析】（1）先判斷出∠2+∠3=90176。，再判斷出∠1=∠2即可得出結論；（2）先判斷出△ABO≌△CDE得出AB=CD，即可判斷出四邊形ABCD是平行四邊形，最后判斷出CD=AD即可．【解答】解：（1）如圖，連接OD，∵CD是⊙O的切線，∴OD⊥CD，∴∠2+∠3=∠1+∠COD=90176。，∵DE=EC，∴∠1=∠2，∴∠3=∠COD，∴DE=OE；（2）∵OD=OE，∴OD=DE=OE，∴∠3=∠COD=∠DEO=60176。，∴∠2=∠1=30176。，∵OA=OB=OE，OE=DE=EC，∴OA=OB=DE=EC，∵AB∥CD，∴∠4=∠1，∴∠1=∠2=∠4=∠OBA=30176。，∴△ABO≌△CDE，∴AB=CD，∴四邊形ABCD是平行四邊形，∴∠DAE=∠DOE=30176。，∴∠1=∠DAE，∴CD=AD，∴?ABCD是菱形．【點評】此題是切線的性質，主要考查了同角的余角相等，等腰三角形的性質，平行四邊形的判定和性質，菱形的判定，判斷出△ABO≌△CDE是解本題的關鍵．　16．（2017?鄂州）如圖，已知BF是⊙O的直徑，A為⊙O上（異于B、F）一點，⊙O的切線MA與FB的延長線交于點M；P為AM上一點，PB的延長線交⊙O于點C，D為BC上一點且PA=PD，AD的延長線交⊙O于點E．（1）求證：=；（2）若ED、EA的長是一元二次方程x2﹣5x+5=0的兩根，求BE的長；（3）若MA=6，sin∠AMF=，求AB的長．【考點】MC：切線的性質；AB：根與系數(shù)的關系；T7：解直角三角形．菁優(yōu)網(wǎng)版權所有【分析】（1）連接OA、OE交BC于T．想辦法證明OE⊥BC即可；（2）由ED、EA的長是一元二次方程x2﹣5x+5=0的兩根，可得ED?EA=5，由△BED∽△AEB，可得=，推出BE2=DE?EA=5，即可解決問題；（3）作AH⊥OM于H．求出AH、BH即可解決問題；【解答】（1）證明：連接OA、OE交BC于T．∵AM是切線，∴∠OAM=90176。，∴∠PAD+∠OAE=90176。，∵PA=PD，∴∠PAD=∠PDA=∠EDT，∵OA=OE，∴∠OAE=∠OEA，∴∠EDT+∠OEA=90176。，∴∠DTE=90176。，∴OE⊥BC，∴=．（2）∵ED、EA的長是一元二次方程x2﹣5x+5=0的兩根，∴ED?EA=5，∵=，∴∠BAE=∠EBD，∵∠BED=∠AEB，∴△BED∽△AEB，∴=，∴BE2=DE?EA=5，∴BE=．（3）作AH⊥OM于H．在Rt△AMO中，∵AM=6，sin∠M==，設OA=m，OM=3m，∴9m2﹣m2=72，∴m=3，∴OA=3，OM=9，易知∠OAH=∠M，∴tan∠OAD==，∴OH=1，AH=2．BH=2，∴AB===2．【點評】本題考查切線的性質、解直角三角形、勾股定理、相似三角形的判定和性質、銳角三角函數(shù)等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，靈活運用所學知識解決問題，屬于中考壓軸題．　17．（2017?賀州）如圖，⊙O是△ABC的外接圓，AB為直徑，∠BAC的平分線交⊙O于點D，過點D的切線分別交AB，AC的延長線于E，F(xiàn)，連接BD．（1）求證：AF⊥EF；（2）若AC=6，CF=2，求⊙O的半徑．【考點】MC：切線的性質；M5：圓周角定理．菁優(yōu)網(wǎng)版權所有【分析】（1）連接OD，由切線的性質和已知條件可證得OD∥EF，則可證得結論；（2）過D作DG⊥AE于點G，連接CD，則可證得△ADF≌△ADG、△CDF≌△BDG，則可求得AB的長，可求得圓的半徑．【解答】（1）證明：如圖1，連接OD，∵EF是⊙O的切線，且點D在⊙O上，∴OD⊥EF，∵OA=OD，∴∠DAB=∠ADO，∵AD平分∠BAC，∴∠DAB=∠DAC，∴∠ADO=∠DAC，∴AF∥OD，∴AF⊥EF；（2）解：如圖2，過D作DG⊥AE于點G，連接CD，∵∠BAD=∠DAF，AF⊥EF，DG⊥AE，∴BD=CD，DG=DF，在Rt△ADF和Rt△ADG中∴Rt△ADF≌Rt△ADG（HL），同理可得Rt△CDF≌Rt△BDG，∴BG=CF=2，AG=AF=AC+CF=6+2=8，∴AB=AG+BG=8+2=10，∴⊙O的半徑OA=AB=5．【點評】本題主要考查切線的性質及圓周角定理，掌握過切點的半徑與切線垂直是解題的關鍵，注意全等三角形的應用．　18．（20