數(shù)學論文數(shù)學中的對稱美與應用(編輯修改稿)
2025-05-01 04:29 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 輪換對稱性.定理1：(二重積分的坐標輪換對稱性)如果區(qū)域D的邊界曲線方程是關(guān)于x,y地位對稱，在上連續(xù),則定理2：(三重積分的坐標輪換對稱性)如果有界閉區(qū)域的邊界曲面的方程關(guān)于x,y,z地位對稱,在上連續(xù),則.由此，可以推廣到：定理3：(n重積分的坐標輪換對稱性)如果n維有界閉區(qū)域V的邊界曲面的方程關(guān)于地位對稱，在V上連續(xù),則==，其中是所圍成正方形(為一大于0的實數(shù)).解：中被積函數(shù)及積分區(qū)域都有輪換對稱性.所以 ，故. 利用積分區(qū)間的對稱性和被積函數(shù)的奇偶性，可簡化定積分的計算.定理：設(shè)是上的連續(xù)函數(shù)，則通過變換，可得：=這就是積分區(qū)間的對稱原理.特別地，當時，有..解：由于在上有界，且只有可去間斷點,故定積分存在.由積分區(qū)間對稱原理可得：原積分.若被積函數(shù)是非奇非偶時，通過適當?shù)膿Q元或拆項等方法也可轉(zhuǎn)化為對稱區(qū)間的積分問題.把積分區(qū)間的對稱性原理推廣到二元函數(shù)積分中，可以得到結(jié)論：結(jié)論1：設(shè)關(guān)于y軸對稱,則’其中是的右半部分:.結(jié)論2：設(shè)關(guān)于x軸對稱,則’其中是的上半部分:.結(jié)論3：設(shè)關(guān)于x軸和y軸均對稱，且關(guān)于變量x和變量y均為偶函數(shù)，則其中是在第一象限的部分：.結(jié)論4：設(shè)關(guān)于原點對稱,則其中,.結(jié)論5：設(shè)關(guān)于直線y=x對稱，則特別地，當時,.,其中.解：關(guān)于x軸和y軸均對稱,而分別關(guān)于變量x和y為奇函數(shù),故,所以：.同樣地，將它應用到三重積分中.,其中是由曲面與所圍成的區(qū)域.解:關(guān)于坐標面x=0對稱,且關(guān)于變量x為奇函數(shù),故.所以.,其中.解:積分區(qū)域V是以原點O(0,0,0)為中心的單位球域,所以V關(guān)于xoy平面對稱，被積函數(shù)是關(guān)于z的奇函數(shù),故由對稱性知.由上可見，在解決微積分問題時，巧妙應用對稱性的觀點去解題，可以使運算過程更加的快捷、流暢，計算結(jié)果更加的精確. 對稱在數(shù)學中的其他應用對稱是形式美的顯著特征,就數(shù)學而言,不僅讓枯燥抽象的數(shù)學公式變得容易記憶,而且也是數(shù)學命題證明必不可少的一種方法.在數(shù)學分析中,斯托克斯公式有一種形式表示法:其中P,Q,和R為連續(xù)可微函數(shù),S為逐片光滑的有界雙側(cè)曲面,C為包圍S的逐段光滑的簡單閉曲線,為曲面S在點處的單位法向量,方向為逆時針,這個公式的右邊是用第一型曲面積分表示的,被積函數(shù)是一個三階行列式.若取平面上的平面區(qū)域D作曲面
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