數(shù)學(xué)論文--古典概型(編輯修改稿)
2025-05-01 04:29 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 注意黑球白球的位置。假設(shè)黑球已經(jīng)先放好，那么白球的可能位置一共有(mn1)個，而有利場合數(shù)，即白色球落入黑球所在的袋子，有（n1）個，即所求概率為(n1)（mn1）。例4 任意選取一正整數(shù)，求該數(shù)的平方被5整除的概率。解 須注意到不能把全體正整數(shù)作為此題的樣本空間，這樣的空間是無限的，所以不是等可能的。所以首先要進行分析，正整數(shù)的平方能不能被5整除取決于此正整數(shù)的末位數(shù)，即它們可以是0，1…9這十個數(shù)中的一個。任取一個正整數(shù)的含義就是十個數(shù)字出現(xiàn)的可能性是相等的。即選取樣本空間={0,1,2^9}。所求概率事件A={0,5}，即P（A）==。以上我們就是通過幾個例題了解適當(dāng)選擇樣本空間的重要性。 對于同一個問題，樣本空間也可以有不同的取法。而且在計算時應(yīng)該要注意基本事件的總數(shù)和有利場合數(shù)的計算要在一個樣本空空間中進行。例1 在一個盒子中有十個相同的球，分別標(biāo)記為1,2，…10，從中任意選取一球，則此球的號碼是偶數(shù)的概率。解法一：若選擇樣本空間S={1,2，…，10}，則基本事件的總數(shù)為n=10，A={選取球的號碼為偶數(shù)}，事件A的基本事件數(shù)m=5，因此p（A）==解法二：設(shè)A={所取的球號碼為偶數(shù)}，B={所取球的號碼為奇數(shù)}，所選取的樣本空間為S={A，B}，由A,B的對稱性可得P(A)=例2 袋子中有a個黑球，b個白球，把球隨機的摸出來（一次摸一個不放回），直到袋子中剩下的球相同，求剩下的球都是黑球的概率。解：假設(shè)摸球直到全部摸完為止，則“最后全剩下的為黑球”（事件A）和“最后摸出的為黑球”（事件B）為同一問題，可以繼續(xù)這樣思考：如果到最后全剩下黑球（A發(fā)生），最后摸出的必是黑球（B發(fā)生，所以AB）。反之，若最后摸出的為黑球（B發(fā)生），則最后剩下的同顏色球必包含這最后一個球，即剩下的球必是黑球（A發(fā)生，即BA）。所以這兩個事件是相等的。事件B也就是在低（a+b）此摸出黑球，概率為 對稱壓縮法在古典概型中，對等的事件發(fā)生的概率的相等的。對于結(jié)構(gòu)處于完全對稱和平等地位的事件，發(fā)生的概率應(yīng)該是相同的，而且這樣不但可以很大幅度的成倍的壓縮樣本空間，并且可以甩開繁瑣的排列組合，從而簡化計算的過程和步驟，達到事半功倍的效果。這種通過對稱性成倍壓縮樣本的方法叫做對稱壓縮法。因為在古典概型中的可能性決定了在這個模型中的事件具有對稱性。其優(yōu)點是可以拋開種種糾纏不清的關(guān)系，直接得到結(jié)果。例1 袋子中有a個白球和b個黑球，每次從袋子里任意取出的球不再放回去，連續(xù)取出個球（a+b），求第次取出的為白球的概率。解 方法一： 設(shè)A為所求事件，把a個白球和b個黑球看作不同，而且考慮拿球的順序，此時試驗可以看成把a+b個球進行排列。則樣本空間為a+b個球的所有的全排列組成，所以總樣本點數(shù)有（a+b）！個，則第個位置為白球的排列法有a（a+b1）!個，所以P（A）= 方法二： 把a個白球和b個黑球看作不相同，把試驗看成觀察第次選取的球的結(jié)果，則這個球是平等對稱的，因為每個球第次被摸到的可能性是相同的，壓縮樣本空間后的總樣本點數(shù)為（）個，則第個位置為白球的放置方法僅僅有種，所以P（A）= 這道題解釋的抽簽原理，抽簽的結(jié)果與抽簽的先后順序無關(guān)，因此對于所有的人都是公平的，而且，這道題的結(jié)論有助于解類似的相關(guān)題目。例2 擲一枚均勻硬幣2+1次，求出現(xiàn)正面多于反面的概率。 解 設(shè)A={正面數(shù)反面數(shù)}，B={反面數(shù)正面數(shù)}，投擲次數(shù)為奇數(shù)，所以A=，此外由于硬幣是均勻的，投擲是隨機的，故A，B是對稱平等的，由對稱性可知P（A）=P(B),所以P(A)= 此題利用事件本身的對稱性簡化計算過程。例3 在線段AB上任意取3個不同的點。求位于之間的概率。解 設(shè)
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