【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 0。 ）+（ ）24=（ ）+ （ ） 21 = ( ) + ( )六、實(shí)際應(yīng)用（16分）（3題6點(diǎn)，其余題5分）1．王老師把五年一班的學(xué)生分成小組來(lái)植樹(shù)，按4人一組，6人一組，都能正好分完，五年一班有多少人？（班級(jí)人數(shù)在40～50之間）2．已知兩個(gè)質(zhì)數(shù)的和是43，這兩個(gè)質(zhì)數(shù)的積是多少？3．從0這四個(gè)數(shù)中，任意選出三個(gè)數(shù)字按要求組成三位數(shù)。（1）是2的倍數(shù)。（寫(xiě)出3個(gè)） （2）是3的倍數(shù)。（寫(xiě)出3個(gè)）（3）是5的倍數(shù)。（寫(xiě)出3個(gè)）最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)（一）一、基本概念知識(shí) ①如果一個(gè)自然數(shù)a能被自然數(shù)b整除，那么稱a為b的倍數(shù)，b為a的約數(shù)。②如果一個(gè)自然數(shù)同時(shí)是若干個(gè)自然數(shù)的約數(shù)，那么稱這個(gè)自然數(shù)是這若干個(gè)自然數(shù)的公約數(shù)。在所有公約數(shù)中最大的一個(gè)公約數(shù)，稱為這若干個(gè)自然數(shù)的最大公約數(shù)。例如：12的約數(shù)有：1，2，3，4，6，12。　　 18的約數(shù)有：1，2，3，6，9，18。自然數(shù)的最大公約數(shù)通常用符號(hào)（）表示，例如，12和18的公約數(shù)有：1，2，3，記作(12，18)=6。（8，12）=4，（6，9，15）=3?！　　　、廴绻粋€(gè)自然數(shù)同時(shí)是若干個(gè)自然數(shù)的倍數(shù)，那么稱這個(gè)自然數(shù)是這若干個(gè)自然數(shù)的公倍數(shù)。在所有公倍數(shù)中最小的一個(gè)公倍數(shù)，稱為這若干個(gè)自然數(shù)的最小公倍數(shù)?！　±纾?2的倍數(shù)有：12，24，36，48，60，72，84，…　　 18的倍數(shù)有：18，36，54，72，90，…自然數(shù)的最小公倍數(shù)通常用符號(hào)[]表示，例如12和18的公倍數(shù)有：36，72，….其中36是12和18的最小公倍數(shù)，記作[12，18]=36。[8，12]=24，[6，9，15]=90。 如果兩個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)是1，那么這兩個(gè)數(shù)叫做互質(zhì)數(shù)。 常用的求最大公約數(shù)和最小公倍數(shù)的方法是分解質(zhì)因數(shù)法和短除法。用短除法求若干個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)的區(qū)別：求個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)：（1） 必須每次都用個(gè)數(shù)的公約數(shù)去除；（2） 一直除到個(gè)數(shù)的商互質(zhì)（但不一定兩兩互質(zhì)）；（3） 個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)即為短除式中所有除數(shù)的乘積。求個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)：（1） 必須先用（如果有）個(gè)數(shù)的公約數(shù)去除，除到個(gè)數(shù)沒(méi)有除去1以外的公約數(shù)后，在用個(gè)數(shù)的公約數(shù)去除，除到個(gè)數(shù)沒(méi)有除1以外的公約數(shù)后，再用個(gè)數(shù)的公約數(shù)去除，如此繼續(xù)下去，為保證這一條，每次所用的除數(shù)均可選質(zhì)數(shù)；（2） 只要有兩個(gè)數(shù)（被除數(shù)）能被同一數(shù)整除，就要繼續(xù)除，一定要除到個(gè)數(shù)的商兩兩互質(zhì)為止；（3） 個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)即為短除式中，所有除數(shù)和最后兩兩互質(zhì)的商的乘積。例1 用60元錢(qián)可以買(mǎi)一級(jí)茶葉144克，或買(mǎi)二級(jí)茶葉180克，或買(mǎi)三級(jí)茶葉240克?，F(xiàn)將這三種茶葉分別按整克數(shù)裝袋，要求每袋的價(jià)格都相等，那么每袋的價(jià)格最低是多少元錢(qián)？分析與解： 因?yàn)?44克一級(jí)茶葉、180克二級(jí)茶葉、240克三級(jí)茶葉都是60元，分裝后每袋的價(jià)格相等，所以144克一級(jí)茶葉、180克二級(jí)茶葉、240克三級(jí)茶 葉，分裝的袋數(shù)應(yīng)相同，即分裝的袋數(shù)應(yīng)是144，180，240的公約數(shù)。題目要求每袋的價(jià)格盡量低，所以分裝的袋數(shù)應(yīng)盡量多，應(yīng)是 144，180，240的最大公約數(shù)。是144，180，240的最大公約數(shù)。 　　所以（144，180，240）=223=12，即每60元的茶葉分裝成12袋，每袋的價(jià)格最低是60247。12=5（元）?！±? 用自然數(shù)a去除498，450，414，得到相同的余數(shù)，a最大是多少？　　分析與解：因?yàn)?98，450，414除以a所得的余數(shù)相同，所以它們兩兩之差的公約數(shù)應(yīng)能被a整除。498450=48，450414=36，498414=84。所求數(shù)是（48，36，84）=12?！? 例3 現(xiàn)有三個(gè)自然數(shù)，它們的和是1111，這樣的三個(gè)自然數(shù)的公約數(shù)中，最大的可以是多少？　分析與解： 只知道三個(gè)自然數(shù)的和，不知道三個(gè)自然數(shù)具體是幾，似乎無(wú)法求最大公約數(shù)。只能從唯一的條件“它們的和是1111”入手分析。三個(gè)數(shù)的和是1111，它們 的公約數(shù)一定是1111的約數(shù)。因?yàn)?111=10111，它的約數(shù)只能是1，11，101和1111，由于三個(gè)自然數(shù)的和是1111，所以三個(gè)自然數(shù) 都小于1111，1111不可能是三個(gè)自然數(shù)的公約數(shù)，而101是可能的，比如取三個(gè)數(shù)為101，101和909。所以所求數(shù)是101。　　例4 在一個(gè)3024的方格紙上畫(huà)一條對(duì)角線（見(jiàn)下頁(yè)上圖），這條對(duì)角線除兩個(gè)端點(diǎn)外，共經(jīng)過(guò)多少個(gè)格點(diǎn)（橫線與豎線的交叉點(diǎn)）？　　　分析與解：（30，24）=6，說(shuō)明如果將方格紙橫、豎都分成6份，即分成66個(gè)相同的矩形，那么每個(gè)矩形是由（30247。6）（24247。6）=54（個(gè)）小方格組成。在66的簡(jiǎn)化圖中，對(duì)角線也是它所經(jīng)過(guò)的每一個(gè)矩形的對(duì)角線，所以經(jīng)過(guò)5個(gè)格點(diǎn)（見(jiàn)左下圖）。在對(duì)角線所經(jīng)過(guò)的每一個(gè)矩形的54個(gè)小方格中，對(duì)角線不經(jīng)過(guò)任何格點(diǎn)（見(jiàn)右下圖）?！　　　∷裕瑢?duì)角線共經(jīng)過(guò)格點(diǎn)（30，24）1=5（個(gè)）?！　±? 甲、乙、丙三人繞操場(chǎng)競(jìng)走，他們走一圈分別需要1分、1分15秒和1分30秒。三人同時(shí)從起點(diǎn)出發(fā)，最少需多長(zhǎng)時(shí)間才能再次在起點(diǎn)相會(huì)？　　分析與解：甲、乙、丙走一圈分別需60秒、75秒和90秒，因?yàn)橐谄瘘c(diǎn)相會(huì)，即三人都要走整圈數(shù)，所以需要的時(shí)間應(yīng)是60，75，90的公倍數(shù)。所求時(shí)間為[60，75，90]=900（秒）=15（分）?！　? 例6 爺爺對(duì)小明說(shuō)：“我現(xiàn)在的年齡是你的7倍，過(guò)幾年是你的6倍，再過(guò)若干年就分別是你的5倍、4倍、3倍、2倍。”你知道爺爺和小明現(xiàn)在的年齡嗎？　　分析與解：爺爺和小明的年齡隨著時(shí)間的推移都在變化，但他們的年齡差是保持不變的。爺爺?shù)哪挲g現(xiàn)在是小明的7倍，說(shuō)明他們的年齡差是6的倍數(shù)；同理，他們的年齡差也是5，4，3，2，1的倍數(shù)。由此推知，他們的年齡差是6，5，4，3，2的公倍數(shù)?！　6，5，4，3，2]=60，爺爺和小明的年齡差是60的整數(shù)倍?？紤]到年齡的實(shí)際情況，爺爺與小明的年齡差應(yīng)是60歲。所以現(xiàn)在小明的年齡=60247。（71）=10（歲），　爺爺?shù)哪挲g=107=70（歲）。二、隨堂練習(xí) 最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)（二）摘要：這一講主要講最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)的關(guān)系，并對(duì)最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)的概念加以推廣?！　≡谇?8與12的最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)時(shí)，由短除法可知，（18，12）=23=6，[18，12]=2332=36。如果把18與12的最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)相乘，那么　?。?8，12）[18，12]　　=（23）（2332）　　=（233）（232）　　=1812。也就是說(shuō)，18與12的最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)的乘積，等于18與12的乘積。當(dāng)把18，12換成其它自然數(shù)時(shí)，依然有類似的結(jié)論。從而得出一個(gè)重要結(jié)論：兩個(gè)自然數(shù)的最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)的乘積，等于這兩個(gè)自然數(shù)的乘積。即，（a，b）[a，b]=ab。例1 兩個(gè)自然數(shù)的最大公約數(shù)是6，最小公倍數(shù)是72。已知其中一個(gè)自然數(shù)是18，求另一個(gè)自然數(shù)。解：由上面的結(jié)論，另一個(gè)自然數(shù)是（672）247。18=24。例2 兩個(gè)自然數(shù)的最大公約數(shù)是7，最小公倍數(shù)是210。這兩個(gè)自然數(shù)的和是77，求這兩個(gè)自然數(shù)。分析與解：如果將兩個(gè)自然數(shù)都除以7，則原題變?yōu)椋骸皟蓚€(gè)自然數(shù)的最大公約數(shù)是1，最小公倍數(shù)是30。這兩個(gè)自然數(shù)的和是11，求這兩個(gè)自然數(shù)?！薄　「淖円院蟮膬蓚€(gè)數(shù)的乘積是130=30，和是11。　　30=130=215=310=56，　　由上式知，兩個(gè)因數(shù)的和是11的只有56，且5與6互質(zhì)。因此改變后的兩個(gè)數(shù)是5和6，故原來(lái)的兩個(gè)自然數(shù)是　　75=35和76=42。例3 已知a與b，a與c的最大公約數(shù)分別是12和15，a，b，c的最小公倍數(shù)是120，求a，b，c。分析與解：因?yàn)?2，15都是a的約數(shù)，所以a應(yīng)當(dāng)是12與15的公倍數(shù)，即是[12，15]=60的倍數(shù)。再由[a，b，c]=120知， a只能是60或120。[a，c]=15，說(shuō)明c沒(méi)有質(zhì)因數(shù)2，又因?yàn)閇a，b，c]=120=2335，所以c=15。因?yàn)閍是c的倍數(shù)，所以求a，b的問(wèn)題可以簡(jiǎn)化為：“a是60或120，（a，b）=12，[a，b]=120，求a，b?！碑?dāng)a=60時(shí)，　b=（a，b）[a，b]247。a=12120247。60=24；當(dāng)a=120時(shí)，b=（a，b）[a，b]247。a=12120247。120=12。所以a，b，c為60，24，15或120，12，15。要將它們?nèi)糠謩e裝入小瓶中，每個(gè)小瓶裝入液體的重量相同。問(wèn)：每瓶最多裝多少千克？分析與解：如果三種溶液的重量都是整數(shù)，那么每瓶裝的重量就是三 種溶液重量的最大公約數(shù)。現(xiàn)在的問(wèn)題是三種溶液的重量不是整數(shù)。要解決這個(gè)問(wèn)題，可以將重量分別乘以某個(gè)數(shù)，將分?jǐn)?shù)化為整數(shù)，求出數(shù)值后，再除以這個(gè)數(shù)。 為此，先求幾個(gè)分母的最小公倍數(shù)，[6，4，9]=36，三種溶液的重量都乘以36后，變?yōu)?50，135和80，（150，135，80）=5。上式說(shuō)明，若三種溶液分別重150，135，80千克，則每瓶最多裝5千克?？蓪?shí)際重量是150，135，80的1/36，所以每瓶最多裝在例4中，出現(xiàn)了與整數(shù)的最大公約數(shù)類似的分?jǐn)?shù)問(wèn)題。為此，我們將最大公約數(shù)的概念推廣到分?jǐn)?shù)中。如果若干個(gè)分?jǐn)?shù)（含整數(shù)）都是某個(gè)分?jǐn)?shù)的整數(shù)倍，那么稱這個(gè)分?jǐn)?shù)是這若干個(gè)分?jǐn)?shù)的公約數(shù)。在所有公約數(shù)中最大的一個(gè)公約數(shù)，稱為這若干個(gè)分?jǐn)?shù)的最大公約數(shù)。由例4的解答，得到求一組分?jǐn)?shù)的最大公約數(shù)的方法：　　（1）先將各個(gè)分?jǐn)?shù)化為假分?jǐn)?shù)；　　（2）求出各個(gè)分?jǐn)?shù)的分母的最小公倍數(shù)a；　?。?）求出各個(gè)分?jǐn)?shù)的分子的最大公約數(shù)b； （4）即為所求。例5 求，的最大公約數(shù)。類似地，我們也可以將最小公倍數(shù)的概念推廣到分?jǐn)?shù)中。如果某個(gè)分?jǐn)?shù)（或整數(shù)）同時(shí)是若干個(gè)分?jǐn)?shù)（含整數(shù)）的整數(shù)倍，那么稱這個(gè)分?jǐn)?shù)是這若干個(gè)分?jǐn)?shù)的公倍數(shù)。在所有公倍數(shù)中最小的一個(gè)公倍數(shù)，稱為這若干個(gè)分?jǐn)?shù)的最小公倍數(shù)?！　∏笠唤M分?jǐn)?shù)的最小公倍數(shù)的方法：　?。?）先將各個(gè)分?jǐn)?shù)化為假分?jǐn)?shù)；　?。?）求出各個(gè)分?jǐn)?shù)的分子的最小公倍數(shù)a；　?。?）求出各個(gè)分?jǐn)?shù)的分母的最大公約數(shù)b；　　　　一個(gè)陷井。它們之中誰(shuí)先掉進(jìn)陷井？它掉進(jìn)陷井時(shí)另一個(gè)跳了多遠(yuǎn)？　　　同理，黃鼠狼掉進(jìn)陷井時(shí)與起點(diǎn)的距離為　　　　　　所以黃鼠狼掉進(jìn)陷井時(shí)跳了31 1/2247。6 3/10=5（次）。黃鼠狼先掉進(jìn)陷井，它掉進(jìn)陷井時(shí)，狐貍跳了專題練習(xí)。，最小公倍數(shù)是72。滿足條件的自然數(shù)有哪幾組？：　?。骸　　　　　　　　〔糠謩e裝入小瓶中，每個(gè)小瓶裝入液體的重量相同。問(wèn)：最少要裝多少瓶？　于同一處只有一次，求圓形綠地的周長(zhǎng)。隨堂練習(xí)解答專題練習(xí)解答　　120=（7，120）［72，120］=24360?！　。?2與24，36兩組?！　√崾荆?2247。12=6=16=23，所以有兩組：　　①121=12，126=72； ②122=24，123=36?！　　　?。　　　　。　　　　?！　?最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)（三）【知識(shí)導(dǎo)引】一、約數(shù)的概念與最大公約數(shù) 約數(shù)又叫因數(shù)(在正整數(shù)范圍內(nèi)）整數(shù)a能被整數(shù)b整除，a叫做b的倍數(shù)，b就叫做a的約數(shù)。最大公約數(shù):如果一個(gè)數(shù)既是數(shù)a的約數(shù)，又是數(shù)b的約數(shù)，稱為[a,b]的約數(shù)。幾個(gè)數(shù)公有的因數(shù)，叫做這幾個(gè)數(shù)的公因數(shù),其中最大的一個(gè)叫做這幾個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)。1. 求最大公約數(shù)的方法①分解質(zhì)因數(shù)法：先分解質(zhì)因數(shù)，然后把相同的因數(shù)連乘起來(lái)。例如：，所以；②短除法：先找出所有共有的約數(shù)，然后相乘。例如：，所以；③輾轉(zhuǎn)相除法：每一次都用除數(shù)和余數(shù)相除，能夠整除的那個(gè)余數(shù)，就是所求的最大公約數(shù)。用輾轉(zhuǎn)相除法求兩個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)的步驟如下：先用小的一個(gè)數(shù)除大的一個(gè)數(shù)，得第一個(gè)余數(shù)；再用第一個(gè)余數(shù)除小的一個(gè)數(shù)，得第二個(gè)余數(shù)；又用第二個(gè)余數(shù)除第一個(gè)余數(shù)，得第三個(gè)余數(shù)；這樣逐次用后一個(gè)余數(shù)去除前一個(gè)余數(shù)，直到余數(shù)是0為止。那么，最后一個(gè)除數(shù)就是所求的最大公約數(shù)(如果最后的除數(shù)是1，那么原來(lái)的兩個(gè)數(shù)是互質(zhì)的)。例如，求600和1515的最大公約數(shù)：；；；；；所以1515和600的最大公約數(shù)是15。2. 最大公約數(shù)的性質(zhì) ①幾個(gè)數(shù)都除以它們的最大公約數(shù)，所得的幾個(gè)商是互質(zhì)數(shù)；②幾個(gè)數(shù)的公約數(shù)，都是這幾個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)的約數(shù)；③幾個(gè)數(shù)都乘以一個(gè)自然數(shù)，所得的積的最大公約數(shù)等于這幾個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)乘以。3. 求一組分?jǐn)?shù)的最大公約數(shù) 先把帶分?jǐn)?shù)化成假分?jǐn)?shù)，其他分?jǐn)?shù)不變；求出各個(gè)分?jǐn)?shù)的分母的最小公倍數(shù)a；求出各個(gè)分?jǐn)?shù)的分子的最大公約數(shù)b；即為所求。二、倍數(shù)的概念與最小公倍數(shù)對(duì)于整數(shù)m，能被n整除（n/m）,那么m就是n的倍數(shù)。如15能夠被3或5整除，我們就說(shuō)15是3的倍數(shù)，也是5的倍數(shù)。幾個(gè)數(shù)公有的倍數(shù)叫做這幾個(gè)數(shù)的公倍數(shù),其中最小的一個(gè)叫做這幾個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)。1. 求最小公倍數(shù)的方法①分解質(zhì)因數(shù)法求最小公倍數(shù)例如：，所以；②短除法求最小公倍數(shù)例如： ，所以；③公式法：2. 最小公倍數(shù)的性質(zhì)①兩個(gè)數(shù)的任意公倍數(shù)都是它們最小公倍數(shù)的倍數(shù)。②兩個(gè)互質(zhì)的數(shù)的最小公倍數(shù)是這兩個(gè)數(shù)的乘積。③兩個(gè)數(shù)具有倍數(shù)關(guān)系，則它們的最大公約數(shù)是其中較小的數(shù)，最小公倍數(shù)是較大的數(shù)。3. 求一組分?jǐn)?shù)的最小公倍數(shù)方法步驟先將各個(gè)分?jǐn)?shù)化為假分?jǐn)?shù)；求出各個(gè)分?jǐn)?shù)分子的最小公倍數(shù)；求出各個(gè)分?jǐn)?shù)分母的最大公約數(shù)；即為所求。例如： 注意：兩個(gè)最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)的最大公約數(shù)不能是整數(shù)，最小公倍數(shù)可以是整數(shù)。例如：三、最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)的常用性質(zhì)1. 兩個(gè)自然數(shù)分別除以它們的最大公約數(shù)，所得的商互質(zhì)。如果為、的最大公約數(shù)，且，那么互質(zhì)，所以、的最小公倍數(shù)為，所以最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)有如下一些基本關(guān)系：①，即兩個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)之積等于這兩個(gè)數(shù)的積；②最大公約數(shù)是、及最小公倍數(shù)的約數(shù)。2. 兩個(gè)數(shù)的最大公約和最小公倍的乘積等于這兩個(gè)數(shù)的乘