初中數(shù)學競賽專題輔導勾股定理與應用(編輯修改稿)
2025-05-01 03:49 本頁面
【文章內容簡介】 當∠C=90176。時，CD=0，上述結論正是勾股定理的表述：c2=a2+b2． 因此，我們常又稱此定理為廣勾股定理(意思是勾股定理在一般三角形中的推廣)． 由廣勾股定理我們可以自然地推導出三角形三邊關系對于角的影響．在△ABC中， (1)若c2=a2+b2，則∠C=90176。； (2)若c2＜a2+b2，則∠C＜90176。； (3)若c2＞a2+b2，則∠C＞90176。． 勾股定理及廣勾股定理深刻地揭示了三角形內部的邊角關系，因此在解決三角形(及多邊形)的問題中有著廣泛的應用． 例1 如圖221所示．已知：在正方形ABCD中，∠BAC的平分線交BC于E，作EF⊥AC于F，作FG⊥AB于G．求證：AB2=2FG2． 分析 注意到正方形的特性∠CAB=45176。，所以△AGF是等腰直角三角形，從而有AF2=2FG2，因而應有AF=AB，這啟發(fā)我們去證明△ABE≌△AFE． 證 因為AE是∠FAB的平分線，EF⊥AF，又AE是△AFE與△ABE的公共邊，所以Rt△AFE≌Rt△ABE(AAS)， 所以 AF=AB． ① 在Rt△AGF中，因為∠FAG=45176。，所以AG=FG， AF2=AG2+FG2=2FG2． ② 由①，②得AB2=2FG2． 說明 事實上，在審題中，條件“AE平分∠BAC”及“EF⊥AC于F”應使我們意識到兩個直角三角形△AFE與△ABE全等，從而將AB“過渡”到AF，使AF(即AB)與FG處于同一個直角三角形中，可以利用勾股定理進行證明了． 例2 如圖222所示．AM是△ABC的BC邊上的中線，求證：AB2+AC2=2(AM2+BM2)． 證 過A引AD⊥BC于D(不妨設D落在邊BC內)．由廣勾股定理，在△ABM中， AB2=AM2+BM2+2BMMD． ① 在△ACM中， AC2=AM2+MC22MCMD． ② ?、?②，并注意到MB=MC，所以 AB
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