【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 題形展示：【例1】如圖，中，BD平分。求證：。 分析一：從要證明的結(jié)論出發(fā)，在BC上截取，只需證明，考慮到，想到在BC上截取，連結(jié)DE，易得，則有，只需證明，這就要從條件出發(fā)，通過角度計(jì)算可以得出。 證明一：在BC上截取，連結(jié)DE、DF 在和中， 又 而 即分析二：如圖，可以考慮延長(zhǎng)BD到E，使DE＝AD，這樣BD＋AD=BD+DE=BE，只需證明BE＝BC，由于，只需證明易證，故作的角平分線，則有，進(jìn)而證明，從而可證出。 證明二：延長(zhǎng)BD到E，使DE＝AD，連結(jié)CE，作DF平分交BC于F。 由證明一知： 則有 DF平分 ，在和中 ，而 在和中， 在中， 說明：“一題多證”在幾何證明中經(jīng)常遇到，它是培養(yǎng)思維能力提高解題水平的有效途徑，讀者在以后的幾何學(xué)習(xí)中要善于從不同角度去思考、去體會(huì)，進(jìn)一步提高自身的解題能力?！緦?shí)戰(zhàn)模擬】 1. 選擇題：等腰三角形底邊長(zhǎng)為5cm，一腰上的中線把其周長(zhǎng)分為兩部分的差為3cm，則腰長(zhǎng)為（ ） A. 2cm B. 8cm C. 2cm或8cm D. 以上都不對(duì) 2. 如圖，是等邊三角形，則的度數(shù)是________。3. 求證：等腰三角形兩腰中線的交點(diǎn)在底邊的垂直平分線上. 4. 中，AB的中垂線交AB于D，交CA延長(zhǎng)線于E，求證：。【試題答案】 1. B 2. 分析：結(jié)合三角形內(nèi)角和定理，計(jì)算圖形中角的度數(shù)是等邊三角形性質(zhì)的重要應(yīng)用。 解：因?yàn)槭堑冗吶切? 所以 因?yàn)?，所? 所以 在中，因?yàn)? 所以，所以 所以 3. 分析：首先將文字語言翻譯成數(shù)學(xué)的符號(hào)語言和圖形語言。已知：如圖，在中，D、E分別為AC、AB邊中點(diǎn)，BD、CE交于O點(diǎn)。求證：點(diǎn)O在BC的垂直平分線上。 分析：欲證本題結(jié)論，實(shí)際上就是證明。而OB、OC在中，于是想到利用等腰三角形的判定角等，那么問題就轉(zhuǎn)化為證含有的兩個(gè)三角形全等。證明：因?yàn)樵谥?，所以（等邊?duì)等角）又因?yàn)镈、E分別為AC、AB的中點(diǎn)，所以（中線定義）在和 中，所以所以（全等三角形對(duì)應(yīng)角相等）。所以（等角對(duì)等邊）。即點(diǎn)O在BC的垂直平分線上。說明：（1）正確地理解題意，并正確地翻譯成幾何符號(hào)語言是非常重要的一步。特別是把“在底邊的垂直平分線上”正確地理解成“OB＝OC”是關(guān)鍵的一點(diǎn)。（2）實(shí)際上，本題也可改成開放題：“△ABC中，AB＝AC，D、E分別為AC、AB上的中點(diǎn)，BD、CE交于O。連結(jié)AO后，試判斷AO與BC的關(guān)系，并證明你的結(jié)論”其解決方法是和此題解法差不多的。4. 分析：此題沒有給出圖形，那么依題意，應(yīng)先畫出圖形。題目中是求線段的倍半關(guān)系，觀察圖形，考慮取BC的中點(diǎn)。證明：過點(diǎn)A作BC邊的垂線AF，垂足為F。31在中，所以 所以（等腰三角形三線合一性質(zhì)）。所以（鄰補(bǔ)角定義）。所以又因?yàn)镋D垂直平分AB，所以（直角三角形兩銳角互余）。（線段垂直平分線定義）。又因?yàn)椋ㄖ苯侨切沃?角所對(duì)的邊等于斜邊的一半）。所以在和中，所以所以即。說明：（1）根據(jù)題意，先準(zhǔn)確地畫出圖形，是解幾何題的一項(xiàng)基本功；（2）直角三角形中角的特殊關(guān)系，溝通了邊之間的數(shù)量關(guān)系，為順利證明打通了思路。第十三章 實(shí)數(shù)【知識(shí)要點(diǎn)】一、實(shí)數(shù)：有理數(shù)和無理數(shù)統(tǒng)稱為實(shí)數(shù)。實(shí)數(shù)有以下兩種分類方法： （1）按定義分類 （2）按大小分類 實(shí)數(shù)中的倒數(shù)、相反數(shù)、絕對(duì)值概念和有理數(shù)一樣，例如的相反數(shù)為，倒數(shù)為，的絕對(duì)值為。實(shí)數(shù)與數(shù)軸上點(diǎn)的關(guān)系： 實(shí)數(shù)和數(shù)軸上的點(diǎn)是一一對(duì)應(yīng)的，即每一個(gè)實(shí)數(shù)都可以用數(shù)軸上的一個(gè)點(diǎn)來表示，反過來，數(shù)軸上的每一個(gè)點(diǎn)都可以用一個(gè)實(shí)數(shù)表示。實(shí)數(shù)的運(yùn)算： （1）關(guān)于有理數(shù)的運(yùn)算律和運(yùn)算性質(zhì)，在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)仍適用。 （2）涉及無理數(shù)的計(jì)算，可根據(jù)問題的要求取其近似值，轉(zhuǎn)化為有理數(shù)進(jìn)行計(jì)算。二、二次根式：一般地，式子叫做二次根式，其中叫做被開方數(shù)。二次根式的性質(zhì)： （1）；（2）； 最簡(jiǎn)二次根式： （1）被開方數(shù)的因數(shù)是整數(shù)，因式是整式。即被開方數(shù)不含有分母。 （2）被開方數(shù)中不含有能開盡方的因數(shù)或因式。即被開方數(shù)中每個(gè)因數(shù)或因式的指數(shù)都小于根指數(shù)2。同類二次根式：幾個(gè)二次根式化成最簡(jiǎn)二次根式以后，如果被開方數(shù)相同，那么這幾個(gè)二次根式叫同類二次根式。二次根式的運(yùn)算：（1）．二次根式的運(yùn)算法則： ； ； ； ；（2）．分母有理化（3）．二次根式的混合運(yùn)算三、非負(fù)性及應(yīng)用：非負(fù)數(shù)包括正數(shù)和零常見的非負(fù)數(shù)有實(shí)數(shù)的絕對(duì)值，實(shí)數(shù)的偶次方，非負(fù)實(shí)數(shù)的算術(shù)平方根等，用符號(hào)表示如下： ①若a是實(shí)數(shù)，則； ②若a是實(shí)數(shù)，則（n為正整數(shù)），當(dāng)n=1時(shí)，a2≥0； ③（n為正整數(shù)）在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則，此時(shí)；非負(fù)數(shù)有如下性質(zhì)： ①有限個(gè)非負(fù)數(shù)之和是非負(fù)數(shù)；②有限個(gè)非負(fù)數(shù)之和是零，則每一個(gè)非負(fù)數(shù)是零。 【典例解析】無理數(shù)的識(shí)別與估算方法例1 、（1），，，…，π，中，哪些是有理數(shù)，哪些是無理數(shù)？（2）估算的值（ ）A．在5和6之間 實(shí)數(shù)的大小比較方法例（1）比較大?。?__________（填“”“”或“” ） （2）已知，則、的大小關(guān)系為_________（3）比較大?。寒?dāng)實(shí)數(shù)時(shí)，_______.（填“”或“” ）實(shí)數(shù)有數(shù)軸的關(guān)系例如右圖：數(shù)軸上點(diǎn)A表示的數(shù)為x，則x2－13的立方根是（ ）A.－13 B.－－13 D.－2實(shí)數(shù)的運(yùn)算例（1）；（2）；（3）； （4）。實(shí)數(shù)性質(zhì)的使用例（1）化簡(jiǎn)： ； （2）實(shí)數(shù)a，b在數(shù)軸上所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的位置如圖所示，則2a___________0；a＋b__________0；－｜b－a｜________0；｜2a｜－｜a＋b｜＝________。 例（1）已知，求的值。（2）已知的整數(shù)部分為，小數(shù)部分為，則=________【課堂檢測(cè)】在中，屬于有理數(shù)的是 _____屬于無理數(shù)的是 ___（1） ； 。 （2） 。 （3）若= 。 （4）計(jì)算 。比較大?。?） （2） 。 下列語句中不正確的是（ ） A．無理數(shù)是帶根號(hào)的數(shù)，其根號(hào)下的數(shù)字開方開不盡； B．8的立方根是177。2； C．絕對(duì)值等于的實(shí)數(shù)是 D．每一個(gè)實(shí)數(shù)都有數(shù)軸上的一個(gè)點(diǎn)與它對(duì)應(yīng)。 與相乘，結(jié)果為1的數(shù)是（ ） A． B． C． D．下列計(jì)算正確的是（ ） A B ．?dāng)?shù)軸上表示實(shí)數(shù)的點(diǎn)在表示的點(diǎn)的左邊，則式子的值是（ ） A．正數(shù) B．1 C．小于1 D．大于1化簡(jiǎn)，甲、乙兩同學(xué)的解法如下：甲：； 乙：，對(duì)于他們的解法，正確的是（ ） A．甲、乙的解法都正確 B．甲正確、乙不正確C．甲、乙的解都錯(cuò)誤 、甲不正確 計(jì)算或化簡(jiǎn)：（1）； （2）； （3）；（4）； （5）已知，求（6）已知的值。已知y=+18,求代數(shù)式的值。1細(xì)心觀察右圖和認(rèn)真分析下列各式，然后解答問題：， ；， ；， ；……（1）請(qǐng)用含的（為正整數(shù)）的等式表示上述變化的規(guī)律；（2）推算出 ， ； ， ；（3）求出的值。第十四章 一次函數(shù)變化的世界 一次函數(shù)函數(shù) 圖像性質(zhì) 一元一次方程一元一次不等式 二元方程組一 函數(shù)在某變化過程中，存在 個(gè)變量x、y，y隨x的變化而發(fā)生變化，對(duì)于x在其取值范圍內(nèi)，每一個(gè)確定的值，y都有 的值與之對(duì)應(yīng)，我們稱y是x的函數(shù)。練習(xí)：函數(shù)y＝中自變量的取值范圍是＿＿，y=中x的取值范圍是 二 一次函數(shù)和正比例函數(shù)1．概念： 若兩個(gè)變量x，y間的關(guān)系式可以表示成y=kx+b（k，b為常數(shù)，k≠0）的形式，則稱y是x的 （x為自變量），特別地，當(dāng)b=0時(shí)，稱y是x的 .（1）一次函數(shù)的自變量的取值范圍是一切實(shí)數(shù)，但在實(shí)際問題中要根據(jù)函數(shù)的 來確定.（2）一次函數(shù)y=kx+b（k，b為常數(shù)，k≠0）中的“一次”和一元一次方程、一元一次不等式中的“一次”意義相同，即自變量x的次數(shù)為1，一次項(xiàng)系數(shù)k必須是不為零的常數(shù)，b可為任意常數(shù).練習(xí)：已知函數(shù)；（1）若是一次函數(shù)，應(yīng)滿足什么條件？（2）若是正比例函數(shù)，應(yīng)滿足什么條件？一次函數(shù)的圖象由于一次函數(shù)y=kx+b（k，b為常數(shù)，k≠0）的圖象是一條直線，所以一次函數(shù)y=kx+b的圖象也稱為直線y=kx+b．此直線與y軸的交點(diǎn)（ ），與x軸的交點(diǎn)（ ）.畫正比例函數(shù)y=kx的圖象時(shí)，只要描出點(diǎn)（0， ），（1， ）即可.一次函數(shù)性質(zhì)（1）性質(zhì)函數(shù)kb位置Y隨x的變化草圖（2）點(diǎn)P（x0，y0）與直線y=kx+b的圖象的關(guān)系（x0，y0）在直線y=kx+b的圖象上，那么x0,y0的值必滿足解析式y(tǒng)=kx+b；，y0是滿足函數(shù)解析式的一對(duì)對(duì)應(yīng)值，那么以x0，y0為坐標(biāo)的點(diǎn)必在函數(shù)的圖象上．（3）確定正比例函數(shù)及一次函數(shù)表達(dá)式的條件=kx（k≠0）中只有一個(gè)待定系數(shù)k，故只需一個(gè)條件（如一對(duì)x，y的值或一個(gè)點(diǎn)）就可求得k的值．=kx+b（k≠0）中有兩個(gè)待定系數(shù)k，b，需要兩個(gè)獨(dú)立的條件確定兩個(gè)關(guān)于k，b的方程，求得k，b的值，這兩個(gè)條件通常是兩個(gè)點(diǎn)或兩對(duì)x，y的值．（不等式）(1). 一元一次方程、一元一次不等式及一次函數(shù)的關(guān)系 一次函數(shù)及其圖像與一元一次方程及一元一次不等式有著密切的關(guān)系，解決此類問題關(guān)鍵是找到函數(shù)y=kx+b（k≠0，k，b為常數(shù)）與x軸的交點(diǎn)（ ），直線y=kx+b在x軸的上方，也就是函數(shù)的值大于零，x的值是不等式 （k≠0）的解；在x軸的下方也就是函數(shù)的值小于零，x的值是不等式 （k≠0）的解；在x軸上也就是函數(shù)值等于零，x的值是方程 的解。(2) 一次函數(shù)與二元一次方程組的關(guān)系 兩個(gè)函數(shù)的交點(diǎn)就是對(duì)應(yīng)的二元一次方程組的解，此時(shí)兩個(gè)函數(shù)的值 ；圖像在上方的函數(shù)的值較 。熱身訓(xùn)練1．下列各式y(tǒng)是x一次函數(shù)的為（ ）A B y=x2+2x+5 C y=2x D E y=a+3F 2．如圖的四個(gè)圖象中，不表示某一函數(shù)圖象的是（ ）3．函數(shù)y=－x的圖象是一條過原點(diǎn)及（2，___ ）的直線，這條直線經(jīng)過第_____象限，當(dāng)x增大時(shí)，y隨之________ 4. 函數(shù)y=2x－4，與x軸的交點(diǎn)是 ，當(dāng)x____，y0；.當(dāng)x_______，y0。5．函數(shù)y=3x+5上取x1=1，x2=2，比較大?。簓1_______y2；函數(shù)y=(m2+1)x+2 （m為常數(shù)）有x1=—1，x2=2，比較大小y1_______y2； 6．某一次函數(shù)圖像過一、三、四象限，則：k___0，b___07．如右圖，判斷那些點(diǎn)屬于該直線A.（1，3）B.（1，1）C.（2，2）D.（，1）基本訓(xùn)練一、 填空題 1． 小華用500元去購買單價(jià)為3元的一種商品，剩余的錢y（元）與購買這種商品的件數(shù)x（件）之間的函數(shù)關(guān)系是______________， x的取值范圍是__________ 2． 函數(shù)y=－2x＋4的圖象經(jīng)過_________象限，它與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為_________3． 一次函數(shù)y=kx＋b的圖象經(jīng)過點(diǎn)（1，5），交y軸的點(diǎn)的縱坐標(biāo)是3，則k=____，b=____ 4．若點(diǎn)（m，m＋3）在函數(shù)y=－ x＋2的圖象上，則m=____ 直線y=39x與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為__________，與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為________． 若直線y=kx＋b平行直線y=3x＋4，且過點(diǎn)（1，2），則k= ；b= . 二、選擇題1．一次函數(shù)y=x1的圖像不經(jīng)過( ) =kx(k≠0)的圖像過第二、四象限,則( ) 0時(shí),y隨x的增大