【正文】 第十一章 全等三角形及其應(yīng)用【知識(shí)精讀】1. 全等三角形的定義：能夠完全重合的兩個(gè)三角形叫全等三角形；兩個(gè)全等三角形中，互相重合的頂點(diǎn)叫做對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)。互相重合的邊叫對(duì)應(yīng)邊，互相重合的角叫對(duì)應(yīng)角。2. 全等三角形的表示方法：若△ABC和△A′B′C′是全等的三角形，記作 “△ABC≌△A′B′C′其中，“≌”讀作“全等于”。記兩個(gè)三角形全等時(shí)，通常把表示對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的字母寫(xiě)在對(duì)應(yīng)的位置上。 3. 全等三角形的的性質(zhì)：全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等，對(duì)應(yīng)角相等；4. 尋找對(duì)應(yīng)元素的方法（1）根據(jù)對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)找如果兩個(gè)三角形全等，那么，以對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)為頂點(diǎn)的角是對(duì)應(yīng)角；以對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)為端點(diǎn)的邊是對(duì)應(yīng)邊。通常情況下，兩個(gè)三角形全等時(shí)，對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的字母都寫(xiě)在對(duì)應(yīng)的位置上，因此，由全等三角形的記法便可寫(xiě)出對(duì)應(yīng)的元素。（2）根據(jù)已知的對(duì)應(yīng)元素尋找全等三角形對(duì)應(yīng)角所對(duì)的邊是對(duì)應(yīng)邊，兩個(gè)對(duì)應(yīng)角所夾的邊是對(duì)應(yīng)邊；（3）通過(guò)觀察，想象圖形的運(yùn)動(dòng)變化狀況，確定對(duì)應(yīng)關(guān)系。通過(guò)對(duì)兩個(gè)全等三角形各種不同位置關(guān)系的觀察和分析，可以看出其中一個(gè)是由另一個(gè)經(jīng)過(guò)下列各種運(yùn)動(dòng)而形成的。?翻折 如圖（1），DBOC≌DEOD，DBOC可以看成是由DEOD沿直線AO翻折180176。得到的；?旋轉(zhuǎn) 如圖（2），DCOD≌DBOA，DCOD可以看成是由DBOA繞著點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)180176。得到的；?平移 如圖（3），DDEF≌DACB，DDEF可以看成是由DACB沿CB方向平行移動(dòng)而得到的。5. 判定三角形全等的方法：（1）邊角邊公理、角邊角公理、邊邊邊公理、斜邊直角邊公理（2） 推論：角角邊定理6. 注意問(wèn)題：（1）在判定兩個(gè)三角形全等時(shí)，至少有一邊對(duì)應(yīng)相等；（2）不能證明兩個(gè)三角形全等的是，a: 三個(gè)角對(duì)應(yīng)相等，即AAA；b :有兩邊和其中一角對(duì)應(yīng)相等，即SSA。全等三角形是研究?jī)蓚€(gè)封閉圖形之間的基本工具，同時(shí)也是移動(dòng)圖形位置的工具。在平面幾何知識(shí)應(yīng)用中，若證明線段相等或角相等，或需要移動(dòng)圖形或移動(dòng)圖形元素的位置，常常需要借助全等三角形的知識(shí)。【分類(lèi)解析】全等三角形知識(shí)的應(yīng)用（1） 證明線段（或角）相等【例1】如圖，已知AD=AE,AB=：BF=FC分析：由已知條件可證出ΔACD≌ΔABE，而B(niǎo)F和FC分別位于ΔDBF和ΔEFC中，因此先證明ΔACD≌ΔABE，再證明ΔDBF≌ΔECF，既可以得到BF=FC.證明：在ΔACD和ΔABE中， ∴ ΔACD≌ΔABE (SAS)∴ ∠B=∠C（全等三角形對(duì)應(yīng)角相等）又 ∵ AD=AE,AB=AC. ∴ AB－AD=AC－AE 即 BD=CE在ΔDBF和ΔECF中∴ ΔDBF≌ΔECF （AAS）∴ BF=FC （全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等）（2）證明線段平行【例2】已知：如圖，DE⊥AC，BF⊥AC，垂足分別為E、F，DE=BF，AF=：AB∥CD分析：要證AB∥CD，需證∠C＝∠A，而要證∠C＝∠A，又需證ΔABF≌⊥AC，DE⊥AC，知∠DEC＝∠BFA=90176。，且已知DE=BF，AF=≌ΔCDE條件已具備，故可先證兩個(gè)三角形全等，再證∠C＝∠A,進(jìn)一步證明AB∥CD.證明：∵ DE⊥AC，BF⊥AC （已知）∴ ∠DEC＝∠BFA=90176。 （垂直的定義）在ΔABF與ΔCDE中，∴ ΔABF≌ΔCDE（SAS）∴ ∠C＝∠A (全等三角形對(duì)應(yīng)角相等)∴ AB∥CD （內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行）（3）證明線段的倍半關(guān)系，可利用加倍法或折半法將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為證明兩條線段相等【例3】如圖，在△ ABC中，AB=AC，延長(zhǎng)AB到D，使BD=AB，取AB的中點(diǎn)E，連接CD和CE. 求證：CD=2CE分析：(ⅰ)折半法：取CD中點(diǎn)F，連接BF，再證ΔCEB≌。證明：取CD中點(diǎn)F，連接BF ∴ BF=AC,且BF∥AC （三角形中位線定理）∴ ∠ACB＝∠2 (兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等)又∵ AB=AC∴ ∠ACB＝∠3 （等邊對(duì)等角）∴ ∠3＝∠2在ΔCEB與ΔCFB中，∴ ΔCEB≌ΔCFB (SAS)∴ CE=CF=CD （全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等）即CD=2CE （ⅱ）加倍法證明：延長(zhǎng)CE到F，使EF=CE，連BF.在ΔAEC與ΔBEF中，∴ΔAEC≌ΔBEF (SAS)∴ AC=BF, ∠4＝∠3 (全等三角形對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角相等)∴ BF∥AC (內(nèi)錯(cuò)角相等兩直線平行)∵ ∠ACB+∠CBF=180o,∠ABC+∠CBD=180o,又AB=AC ∴∠ACB=∠ABC∴∠CBF=∠CBD （等角的補(bǔ)角相等）在ΔCFB與ΔCDB中，∴ ΔCFB≌ΔCDB (SAS)∴ CF=CD即CD=2CE說(shuō)明：關(guān)于折半法有時(shí)不在原線段上截取一半，而利用三角形中位線得到原線段一半的線段。例如上面折道理題也可這樣處理，取AC中點(diǎn)F，連BF(如圖)（B為AD中點(diǎn)是利用這個(gè)辦法的重要前提），然后證CE=BF.(4)證明線段相互垂直【例4】已知：如圖，A、D、B三點(diǎn)在同一條直線上，ΔADC、ΔBDO為等腰三角形，AO、BC的大小關(guān)系和位置關(guān)系分別如何？證明你的結(jié)論。分析：本題沒(méi)有直接給出待證的結(jié)論，而是讓同學(xué)們先根據(jù)已知條件推斷出結(jié)論，然后再證明所得出的結(jié)論正確。通過(guò)觀察，可以猜測(cè)：AO=BC，AO⊥BC.證明：延長(zhǎng)AO交BC于E,在ΔADO和ΔCDB中∴ ΔADO≌ΔCDB (SAS)∴ AO=BC, ∠OAD=∠BCD（全等三角形對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角相等）∵ ∠AOD＝∠COE （對(duì)頂角相等）∴ ∠COE+∠OCE=90o∴ AO⊥BC中考點(diǎn)撥：【例1】如圖，在△ABC中，AB＝AC，E是AB的中點(diǎn)，以點(diǎn)E為圓心，EB為半徑畫(huà)弧，交BC于點(diǎn)D，連結(jié)ED，并延長(zhǎng)ED到點(diǎn)F，使DF＝DE，連結(jié)FC．求證：∠F＝∠A．分析：證明兩個(gè)角相等，常證明這兩個(gè)角所在的兩個(gè)三角形全等，在已知圖形中∠A、∠F不在全等的兩個(gè)三角形中，但由已知可證得EF∥AC，因此把∠A通過(guò)同位角轉(zhuǎn)到△BDE中的∠BED，只要證△EBD≌△FCD即可．證明：∵AB＝AC，∴∠ACB＝∠B，∵EB＝ED，∴∠ACB＝∠EDB．∴ED∥AC．∴∠BED＝∠A．∵BE＝EA．∴BD＝CD．又DE＝DF，∠BDE＝∠CDF∴△BDE≌△CDF，∴∠BED＝∠F．∴∠F＝∠A．說(shuō)明：證明角（或線段）相等可以從證明角（或線段）所在的三角形全等入手，在尋求全等條件時(shí)，要注意結(jié)合圖形，挖掘圖中存在的對(duì)項(xiàng)角、公共角、公共邊、平行線的同位角、內(nèi)錯(cuò)角等相等的關(guān)系?！纠?】如圖，已知△ ABC為等邊三角形，延長(zhǎng)BC到D，延長(zhǎng)BA到E，并且使AE=BD，連接CE、：EC=ED 分析：把已知條件標(biāo)注在圖上，需構(gòu)造和△AEC全等的三角形，因此過(guò)D點(diǎn)作DF∥AC交BE于F點(diǎn)，證明△AEC≌△FED即可。證明：過(guò)D點(diǎn)作DF∥AC交BE于F點(diǎn)∵ △ ABC為等邊三角形∴ △BFD為等邊三角形∴ BF=BD=FD∵ AE=BD∴ AE=BF=FD∴ AE－AF=BF－AF 即 EF=AB∴ EF=AC在△ ACE和△DFE中，∴ △AEC≌△FED（SAS）∴ EC=ED（全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等）題型展示：【例1】如圖，△ABC中，∠C＝2∠B，∠1＝∠2。求證：AB＝AC＋CD．分析：在AB上截取AE＝AC，構(gòu)造全等三角形，△AED≌△ACD，得DE＝DC，只需證DE＝BE問(wèn)題便可以解決．證明：在AB上截取AE＝AC，連結(jié)DE．∵ AE＝AC，∠1＝∠2，AD＝AD，∴ △AED≌△ACD，∴ DE＝DC，∠AED＝∠C．∵ ∠AED＝∠B＋∠EDB，∠C＝2∠B，∴ 2∠B＝∠B＋∠EDB．即 ∠B＝∠EDB．∴ EB＝ED，即ED＝DC，∴ AB＝AC＋DC．剖析：證明一條線段等于另外兩條線段之和的常用方法有兩種，一種是截長(zhǎng)法（即在長(zhǎng)線段上截取一段等于兩條短線段的一條，再證余下的部分等于另一條短線段）；如作AE＝AC是利用了角平分線是角的對(duì)稱(chēng)軸的特性，構(gòu)造全等三角形，另一種方法是補(bǔ)短法（即延長(zhǎng)一條短線段等于長(zhǎng)線段，再證明延長(zhǎng)的部分與另一條短線段相等），其目的是把證明線段的和差轉(zhuǎn)化為證明線段相等的問(wèn)題，實(shí)際上仍是構(gòu)造全等三角形，這種轉(zhuǎn)化圖形的能力是中考命題的重點(diǎn)考查的內(nèi)容．【實(shí)戰(zhàn)模擬】1. 下列判斷正確的是（ ）（A）有兩邊和其中一邊的對(duì)角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（B）有兩邊對(duì)應(yīng)相等，且有一角為30176。的兩個(gè)等腰三角形全等（C）有一角和一邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等（D）有兩角和一邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等2. 已知：如圖，CD⊥AB于點(diǎn)D，BE⊥AC于點(diǎn)E，BE、CD交于點(diǎn)O，且AO平分∠BAC．求證：OB＝OC．3. 如圖，已知C為線段AB上的一點(diǎn)，DACM和DCBN都是等邊三角形，AN和CM相交于F點(diǎn)，BM和CN交于E點(diǎn)。求證：DCEF是等邊三角形。，在△ABC中，AD為BC邊上的中線。求證：AD(AB+AC) 5. 如圖，在等腰Rt△ABC中，∠C＝90176。，D是斜邊上AB上任一點(diǎn)，AE⊥CD于E，BF⊥CD交CD的延長(zhǎng)線于F，CH⊥AB于H點(diǎn)，交AE于G．求證：BD＝CG．【試題答案】1. D：∵ AO平分∠ODB，CD⊥AB于點(diǎn)D，BE⊥AC于點(diǎn)E，BE、CE交于點(diǎn)O，∴ OD＝OE，∠ODB＝∠OEC＝90176。, ∠BOD＝∠COE?！?△BOD≌△COE（ASA）．?∴?OB＝OC3. 分析 由208。ACM=208。BCN=60176。，知208。ECF=60176。，欲證DCEF是等邊三角形，只要證明DCEF是等腰三角形。先證DCAN≌DMCB，得208。1=≌DCEB，即可推得DCEF是等邊三角形的結(jié)論。證明：在DCAN和DMCB，∵AC=MC，CN=CB，208。CAN=208。MCB=120176。，∴DACN≌DMCB中， ∴ 208。FCB和DCEB中，∵208。FCN=208。ECB=60176。，208。1=208。2，CN=CB，∴DCFN≌DCEB，∴CF=CE，又∵208。ECF=60176。， ∴DCEF是等邊三角形.4. 分析： 關(guān)于線段不等的問(wèn)題，一般利用在同一個(gè)三角形中三邊關(guān)系來(lái)討論，由于AB、AC、AD不在同一個(gè)三角形，應(yīng)設(shè)法將這三條線段轉(zhuǎn)化在同一個(gè)三角形中，也就是將線段相等地轉(zhuǎn)化，而轉(zhuǎn)化的通常方法利用三角形全等來(lái)完成，注意AD是BC邊上的中線，延長(zhǎng)AD至E，使DE＝AD，即可得到△ACD≌△EBD．證明：延長(zhǎng)AD到E，使DE＝AD，連結(jié)BE在DACD與DEBD中 ∴ DACD≌DEBD（SAS） ∴ AC＝EB（全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等）在DABE中，AB＋EB＞AE（三角形兩邊之和大于第三邊）∴ AB＋AC＞2AD（等量代換） 說(shuō)明：一般在有中點(diǎn)的條件時(shí)，考慮延長(zhǎng)中線來(lái)構(gòu)造全等三角形。：由于BD與CG分別在兩個(gè)三角形中，欲證BD與CG相等，設(shè)法證△CGE≌△BDF。由于全等條件不充分，可先證△AEC≌△CFB證明：在Rt△AEC與Rt△CFB中，∵AC＝CB，AE⊥CD于E，BF⊥C交CD的延長(zhǎng)線于F∴∠AEC＝∠CFB＝90176。又∠ACB＝90176?！?∠CAE＝90176。－∠ACE＝∠BCF∴ Rt△AEC≌Rt△CFB∴CE＝BF在Rt△BFD與Rt△CEG中，∠F＝∠GEC＝90176。，CE＝BF，由∠FBD＝90176。－∠FDB＝90176。－∠CDH＝∠ECG，∴ Rt△BFD≌Rt△CEG∴ BD＝CG第十二章 軸對(duì)稱(chēng)，對(duì)折的兩部分能完全重合，那么就稱(chēng)這樣的圖形為軸對(duì)稱(chēng)圖形，這條直線叫做這個(gè)圖形的對(duì)稱(chēng)軸。這時(shí)，我們就說(shuō)這個(gè)圖形關(guān)于這條直線（或軸）對(duì)稱(chēng)。，如果它能夠和另一個(gè)圖形完全重合，那么就說(shuō)這兩個(gè)圖形成軸對(duì)稱(chēng)，這條直線就是對(duì)稱(chēng)軸。兩個(gè)圖形中經(jīng)過(guò)翻折之后互相重合的點(diǎn)叫做對(duì)應(yīng)點(diǎn)，也叫做對(duì)稱(chēng)點(diǎn)。注意： 一個(gè)軸對(duì)稱(chēng)圖形的對(duì)稱(chēng)軸不一定只有一條； 兩個(gè)圖形成軸對(duì)稱(chēng)和軸對(duì)稱(chēng)圖形的概念，前提不一樣，前者是兩個(gè)圖形，后者是一個(gè)圖形。 成軸對(duì)稱(chēng)的兩個(gè)圖形不僅大小、形狀一樣而且與位置有關(guān)。題型一:軸對(duì)稱(chēng)圖形的判斷【例1】如圖，我國(guó)主要銀行的商標(biāo)設(shè)計(jì)基本上都融入了中國(guó)古代錢(qián)幣的圖案，下圖中我國(guó)四大銀行的商標(biāo)圖案中軸對(duì)稱(chēng)圖形的是( )　　 　　 ① ② ③ ④　　A．①②③ B．②③④ C．③④① D．④①②分析：圖形沿一條直線折疊相互重合軸對(duì)稱(chēng)圖形判斷舉一反三：下列圖形中，不是軸對(duì)稱(chēng)圖形的是( )　　A．角 B．等邊三角形 C．線