一注基礎(chǔ)高等數(shù)學(xué)知識(shí)總結(jié)(編輯修改稿)
2025-05-01 02:52 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 。偏導(dǎo)數(shù)：設(shè)在點(diǎn)的某鄰域中有極限（將當(dāng)做常數(shù)）存在，則稱此極限為函數(shù)在點(diǎn)對(duì)的偏導(dǎo)數(shù)，即 設(shè)在處可微。二元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義：是曲線在點(diǎn)處的切線對(duì)軸的斜率是曲線在點(diǎn)處的切線對(duì)軸的斜率高階偏導(dǎo)數(shù)：設(shè)在域內(nèi)存在連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)和，若這兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)仍存在偏導(dǎo)數(shù)，則稱它們是的二階偏導(dǎo)數(shù)。按求導(dǎo)順序不同, 有下列四個(gè)二階偏導(dǎo)數(shù)：，，定理：若和都連續(xù)，則=。（否則不一定成立）3． 復(fù)合函數(shù)的微分法復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的鏈?zhǔn)椒▌t：若函數(shù)可微，有一階偏導(dǎo)數(shù)，則對(duì)和有偏導(dǎo)數(shù)，并有： (口訣：分段用乘, 分叉用加, 單路全導(dǎo), 叉路偏導(dǎo)) 微分中值定理：若函數(shù)在區(qū)域可微，連接和的線段全在內(nèi)，則必有，使得定理：若在區(qū)域中，則。全微分的不變性：設(shè)函數(shù)，都可微，則復(fù)合函數(shù)的全微分為 即無論是自變量還是中間變量, 其全微分表達(dá)形式都一樣, 叫做全微分形式不變性。4． 方向?qū)?shù)和梯度方向?qū)?shù)：若函數(shù)在點(diǎn)處沿方向（方向角為）存在極限：（）則稱為函數(shù)在點(diǎn)處沿方向的方向?qū)?shù)。定理：則函數(shù)在該點(diǎn)沿任意方向的方向?qū)?shù)存在，且有： 由，故當(dāng)方向一致時(shí)，方向?qū)?shù)取最大值。梯度：定義向量為函數(shù)在點(diǎn)處的梯度，記做，即PS：函數(shù)的方向?qū)?shù)為梯度在該方向上的投影。梯度的幾何意義：沿梯度正向，方向?qū)?shù)最大，即函數(shù)值增長(zhǎng)最快，其增長(zhǎng)率為；而沿梯度負(fù)向，方向?qū)?shù)最小，即函數(shù)值減小最快，其減小率為。5． 空間曲線的切線與法平面參數(shù)形式 切線向量 兩柱面交線 切線向量 兩曲面交線 切線向量6． 曲面的切平面與法線方程 法線向量 （梯度方向） 7． Taylor公式Taylor定理：，的某一鄰域內(nèi)有直到階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，為此鄰域內(nèi)任一點(diǎn)，則有其中，（拉格朗日余項(xiàng)）。8． 多變量函數(shù)的極值定理：（必要條件）存在且在該點(diǎn)取得極值，則有PS：使偏導(dǎo)數(shù)都為0的點(diǎn)稱為駐點(diǎn)，但駐點(diǎn)不一定是極值點(diǎn)。定理：（充分條件）若的某鄰域內(nèi)具有一階和二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù), 且令，則有：1） 當(dāng)時(shí)，具有極值。且時(shí)取極大值；時(shí)取極小值；2） 當(dāng)時(shí)，沒有極值。3） 當(dāng)時(shí)，不能確定，需另行討論。最值可疑點(diǎn)：駐點(diǎn)，不可偏導(dǎo)點(diǎn)，邊界上的最值點(diǎn)。PS：當(dāng)區(qū)域內(nèi)部最值存在, 且只有一個(gè)極值點(diǎn)時(shí)，則該極值點(diǎn)即為最值點(diǎn)。條件極值：對(duì)自變量除定義域限制外，還有其它條件限制的極值問題。（約束極值問題）條件極值的求法:：1）代入法：求的無條件極值問題2） 拉格朗日乘數(shù)法：求函數(shù)在條件和下的極值。構(gòu)造輔助函數(shù)F（Lagrange函數(shù)），引入拉格朗日乘數(shù)，令 （可推廣） 解方程組 ， 可得到條件極值的可疑點(diǎn) 一元函數(shù)的不定積分1． 不定積分原函數(shù)：若在區(qū)間I上滿足，則稱F (x)為f (x)在區(qū)間I上的一個(gè)原函數(shù)。定理1：存在原函數(shù)。定理2：原函數(shù)都在函數(shù)族內(nèi)。不定積分：f (x)在區(qū)間I上的全體原函數(shù)稱為不定積分，記做=2． 基本積分表——（求導(dǎo)的逆運(yùn)算） 3． 不定積分的性質(zhì)1) 2）4． 換元法 第一類換元法（也稱配元法湊微分法）：則有換元公式目的：湊已知的積分公式； 關(guān)鍵：湊微分。第二類換元法：設(shè)是單調(diào)可導(dǎo)函數(shù)，且，具有原函數(shù)，則 。目的：去根號(hào)等。5． 分部積分法由導(dǎo)數(shù)公式 積分得： 或 ：1) v容易求得；容易計(jì)算。 定積分1． 定積分定義 （分割，近似，求和，取極限 ），任一種分法，令，任取，總趨于確定的極限，則稱此極限為函數(shù)在區(qū)間上的定積分，記作，即 定積分的幾何意義：曲邊梯形的有向面積。2． 牛頓－萊布尼茲公式設(shè)在上可積, 并有原函數(shù)，則 3． 定積分的性質(zhì)（設(shè)所列定積分都存在）1） 2） 3） 4）5）4． 廣義積分無窮限的廣義積分（第一類反常積分）：設(shè)，取，若存在，記廣義積分 。無界函數(shù)的廣義積分（瑕積分或第二類廣義積分）：設(shè)，而在點(diǎn)的右鄰域內(nèi)無界，取，若存在，則記廣義積分 。 多變量函數(shù)的重積分多元函數(shù)積分學(xué)：重積分、曲線積分、曲面積分1． 二重積分——“分割，近似，求和，取極限”二重積分存在定理：若有界函數(shù)在有界閉區(qū)域上除去有限個(gè)點(diǎn)或有限個(gè)光滑曲線外都連續(xù)，則在上可積。定理：若兩個(gè)二元有界函數(shù)在有界閉區(qū)域上除去有限個(gè)點(diǎn)或有限個(gè)光滑曲線外都相等，則二者可積性相同，若可積，其積分相等。二重積分的性質(zhì)：設(shè)和在上可積，1）2） 若在上，則 3） 設(shè)在上可積，則 4） 在上也可積5） ，則 6） （微分中值定理）設(shè)函數(shù)在閉域上連續(xù)，為的面積 ,則至少存在一點(diǎn)，使得 2． 二重積分的累次積分a. 型積分：積分區(qū)域 b. 型積分：積分區(qū)域 PS：若積分區(qū)域既是型區(qū)域又是型區(qū)域，PS：若積分域較復(fù)雜,可將它分成若干X型域或Y型域，則3． 二重積分換元法面積元素變換： 雅克比行列式：3） 對(duì)變換有 特別地，直角坐標(biāo)轉(zhuǎn)化為極
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