高數(shù)極限與數(shù)列公式定理總結(jié)大全(編輯修改稿)
2024-11-28 13:56 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 （八） 連續(xù)函數(shù)在閉區(qū)間上的性質(zhì) (重點(diǎn)記憶內(nèi)容 ) 1．有界性定理： 設(shè)函數(shù) ??fx在 ? ?,ab 上連續(xù) ,則 ??fx在 ? ?,ab 上有界 ,即 ? 常數(shù) 0M? ,對(duì)任意的? ?,x ab? ,恒有 ? ?f x M? ． 2．最大最小值定理： 設(shè)函數(shù) ??fx在 ? ?,ab 上連續(xù) ,則在 ? ?,ab 上 ??fx至少取得最大值與最小值各一次 ,即 ,??? 使得： ? ? ? ?? ? ? ?m a x , ,a x bf f x a b??????。 ? ? ? ?? ? ? ?m i n , ,a x bf f x a b??????. 3．介值定理： 若函數(shù) ??fx在 ? ?,ab 上連續(xù) ,? 是介于 ??fa與 ??fb (或最大值 M 與最小值 m )之 間的任一實(shí)數(shù) ,則在 ? ?,ab 上至少 ? 一個(gè) ? ,使得 ? ? ? ?.f a b? ? ?? ? ?． 4．零點(diǎn)定理： 設(shè)函數(shù) ??fx在 ? ?,ab 上連續(xù) ,且 ? ? ? ? 0f a f b??,則在 ? ?,ab 內(nèi) 至少 ? 一個(gè) ? ,使得新東方在線 [ ] 2020年考研 全科全程輔導(dǎo) 5 ? ? ? ? a b??? ? ? （九） 連續(xù)函數(shù)有關(guān)定理 1．連續(xù)函數(shù)的四則運(yùn)算： 連續(xù)函數(shù)的和、差、積、商 (分母在連續(xù)點(diǎn)處的數(shù)值不為零 )仍為連續(xù)函數(shù) ． 2．反函數(shù)的連續(xù)性： 單值、單調(diào)增加 (減少 )的連續(xù)函數(shù) ,其反函數(shù)在對(duì)應(yīng)區(qū)間上也單值、單調(diào)增加 (減少 )且連續(xù) ． 3．復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性： ? ?ux?? 在點(diǎn) 0x 連續(xù) , ? ?00xu? ? ,而函數(shù) ? ?y f u? 在點(diǎn) 0u 連續(xù) ,則復(fù)合函數(shù)? ?y f x?? ????在點(diǎn) 0x 連續(xù) ． 4．初等函數(shù)的連續(xù)性： 一切初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)是連續(xù)函數(shù) ． （十） 間斷點(diǎn)的定義及分類 1．定義： 若在 0xx? 處 , ??0limxxfx?不存在 ,或 ? ?0fx無(wú)定義 ,或 ? ? ? ?0 0limxxf x f x? ?,則稱 ??fx在 0xx? 處間斷 , 0xx? 稱為 ??fx的間斷點(diǎn) ． 2．間斷點(diǎn)的分類 間斷點(diǎn)的類型 條件 例子 第一類間斷點(diǎn) 可去型間斷點(diǎn) ? ? ? ? ? ?0 0 000f x f x f x? ? ? ? 0x? 是 ? ? sinxfx x? 的可去型間斷點(diǎn) 跳躍型間斷點(diǎn) ? ? ? ?0000f x f x? ? ? 0x? 是 ? ? 1arctanfx x? 的跳躍型間斷點(diǎn) 第二類間斷點(diǎn) 無(wú)窮型間斷點(diǎn) ? ? ? ?000 , 0f x f x??之一是無(wú)窮大 0x? 是 ? ? 1fxx? 的無(wú)窮型間斷點(diǎn) 振蕩型間斷點(diǎn) ? ? ? ?000 , 0f x f x??之一不存在且不是無(wú)窮大 0x? 是 ? ? 1sinfx x? 的振蕩型間斷點(diǎn) 一、函數(shù)、極限、連續(xù) （一） 數(shù)列極限的定義與收斂數(shù)列的性質(zhì) 數(shù)列極限的定義： 給定數(shù)列 ??nx ,如果存在常數(shù) A ,對(duì)任 給 0?? ,存在正整數(shù) N ,使當(dāng) nN? 時(shí) ,恒有nxA??? ,則稱 A 是數(shù)列 ??nx 的當(dāng) n 趨于無(wú)窮時(shí)的極限 ,或稱數(shù)列 ??nx 收斂于 A ,記為 limnn xA?? ? .若??nx 的極限不存在 ,則稱數(shù)列 ??nx 發(fā)散 . 收斂數(shù)列的性質(zhì)： (1)唯一性： 若數(shù)列 ??nx 收斂 ,即 limnn xA?? ?,則極限是唯一的 ． 新東方在線 [ ] 2020年考研 全科全程輔導(dǎo) 6 (2)有界性： 若 limnn xA?? ?,則數(shù)列 ??nx 有界 ,即存在 0M? ,使得對(duì) n? 均有 nxM? . (3)局部保號(hào)性： 設(shè) limnn xA?? ?,且 ? ?00AA??或 ,則存在正整數(shù) N ,當(dāng) nN? 時(shí) ,有 ? ?00nnxx??或 . (4)若數(shù)列收斂于 A ,則它的任何子列也收斂于極限 A . （二） 函數(shù)極限的定義 名稱 表達(dá)式 任給 存在 當(dāng) …時(shí) 恒有 當(dāng)0xx?時(shí) , ??fx以A為極限 ? ?0limxxf x A? ? 0?? 0?? 00 xx?? ? ? ? ?f x A ??? 當(dāng) x??時(shí) , ??fx 以A為極限 ? ?limx f x A?? ? 0?? 0X? xX? ? ?f x A ??? 當(dāng) 0 0xx??時(shí) , ??fx以 A為右極限 ? ?? ?00lim0xxf x Adef f x???? ? ? 0?? 0?? 00x x x ?? ? ? ? ?f x A ??? 當(dāng) 0 0xx??時(shí) , ??fx以 A為左極限 ? ?? ?00lim0xxf x Adef f x???? ? ? 0?? 0?? 00x x x?? ? ? ? ?f x A ??? 當(dāng) x??? 時(shí) , ??fx以 A為極限 ? ?? ?limx f x Adeff??? ?? ? ?? 0?? 0X? xX? ? ?f x A ??? 當(dāng) x??? 時(shí) , ??fx以A為極限 ? ?? ?limx f x Adeff??? ?? ? ?? 0?? 0X? xX?? ? ?f x A ??? （三）
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