自行車輪飾物的運(yùn)動(dòng)軌跡問題(編輯修改稿)
2025-04-22 03:36 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 的軌跡。當(dāng)這自行車在一拱一拱的正弦曲線上通過時(shí)，使用類似的方法，先求出自行車輪軸心的軌跡，然后確定飾物的軌跡。（1）當(dāng)這自行車在一個(gè)拋物線形的拱橋上通過時(shí)，設(shè)拱橋的拋物線方程為：拋物線上任意一點(diǎn)的切線斜率為：，則該點(diǎn)的法向量的斜率為：。假設(shè)自行車輪的軸心坐標(biāo)為，則自行車輪的軸心的軌跡方程為：解之得：這就是自行車輪軸心的軌跡方程。拋物線上從原點(diǎn)到任意一點(diǎn)的距離為，則有：又根據(jù)行駛路程與行駛時(shí)間之間的關(guān)系，有，令，則：。而經(jīng)過時(shí)間后，飾物的繞自行車輪軸心旋轉(zhuǎn)需滿足參數(shù)方程：而自行車輪軸心的運(yùn)動(dòng)軌跡需滿足參數(shù)方程：所以，飾物的坐標(biāo)應(yīng)滿足參數(shù)方程：這就是當(dāng)這自行車在一個(gè)拋物線形的拱橋上通過時(shí)飾物的運(yùn)動(dòng)軌跡方程。取，，使用Matlab軟件畫出其圖像如圖4所示：圖4 飾物在拋物線拱橋上的軌跡（2）當(dāng)這自行車在一拱一拱的正弦曲線上通過時(shí)，設(shè)正弦曲線的方程為：正弦曲線上任意一點(diǎn)的切線斜率為：，則該點(diǎn)的法向量的斜率為：。假設(shè)自行車輪的軸心坐標(biāo)為，則自行車輪的軸心的軌跡方程為：解之得：這就是自行車輪軸心的軌跡方程。設(shè)自行車在正弦曲線上行駛的距離為，則有：。 這個(gè)定積分較為復(fù)雜，故在求解的時(shí)候，運(yùn)用微積分的思想，將圖形等步長微分成份，對每一部分求出面積后累加即可得到的解。越大，求出的就卻精確。故有：同樣令，根據(jù)，得到飾物的坐標(biāo)應(yīng)滿足參數(shù)方程：這就是當(dāng)這自行車在一拱一拱的正弦曲線上通過時(shí)飾物的運(yùn)動(dòng)軌跡方程。取，，，使用Matlab軟件畫出其圖像如圖5所示：圖5 飾物在正弦曲線上的軌跡 模型3（問題4）將問題中的“圓板”換為“橢圓板”之后，考慮在水平道路上運(yùn)動(dòng)。設(shè)初始狀態(tài)時(shí)橢圓的方程為：，其參數(shù)形式為：則橢圓中心的坐標(biāo)為，坐標(biāo)原點(diǎn)為，如圖6所示。圖6 設(shè)橢圓轉(zhuǎn)動(dòng)任意角度后，橢圓中心為，橢圓與軸的切點(diǎn)為。嘗試通過坐標(biāo)轉(zhuǎn)換，找出橢圓轉(zhuǎn)動(dòng)角度后和關(guān)于的參數(shù)表達(dá)式，即：則過切點(diǎn)的切線方程為：。所以，該切線的斜率為：。從而可以推得：。 （1）點(diǎn)在橢圓上，故又滿足：。 （2）聯(lián)立（1）、（2）可以得到：這樣就得到了和關(guān)于的參數(shù)表達(dá)式。由于點(diǎn)在橢圓上，亦滿足橢圓的參數(shù)方程：故得到：。令直線與橢圓長軸的夾角為，則有：。故。令坐標(biāo)原點(diǎn)和切點(diǎn)之間的弧長為，則有：。
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