總結(jié)求矩陣的逆矩陣方法(編輯修改稿)
2024-11-28 12:37 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 ????????????????????的兩端對應(yīng)元素，得到 21 11 1 2 0 1 0 02X? ? ? ? ? ? ? ?；解得，21 12X ??； 31 32 10 2 2 0 03XX? ? ? ? ? ? ?；解得，32 16X ??； 41 42 43 10 0 3 04X X X? ? ? ? ? ? ?。解得，43 112X ??； 31 32 21 1 1 0 03XX? ? ? ? ? ? ?；解得，31 12X ??； 41 42 43 20 2 1 04X X X? ? ? ? ? ? ?；解得，42 54X ??； 41 42 43 11 1 2 04X X X? ? ? ? ? ? ?；解得，43 18X ??。 于是，所求的逆矩陣為： ???????????????????????????411215481031612100212100011A 三角矩陣的一種求逆法 定理 ：如果 n 階矩陣 T ， ????????????? ??nnnnnnttttttttT0000 212221111211????????可逆， 那么它的逆矩陣是 ????????????????????????????12122121121221111111111211211110000nnnnnnnntatattatatattT???????? 其中 )1,2,1(11111 ????? ????? nitta iiiiii ? ),4,3。2,2,1(11 njnittatta jki kkikkjjjjjii ???? ??????? ? ?? 利用此定理可以求出其它各種類型三角矩陣的逆矩陣。 例 1：求上三角矩陣?????????????2020210022104131A 的逆矩陣 解：根據(jù)上定理可求得 31212212 ????? ? tta 22313323 ???? ? tta 512212231313313 ???? ?? ttatta 13414434 ???? ? tta 113323241414424 ???? ?? ttatta ? ? 4133133412212241414414 ?????? ??? ttattatta 因此， ??????????????????????????210001100121045311A 如果 A 是下三角矩陣，則 TA 為上三角矩陣。根據(jù)逆矩陣的性質(zhì)： ? ? ? ?TT AA 11 ?? ? ，再根據(jù)上定理可求三角矩陣 A 的逆矩陣。 例 2 用恒等變形法求逆矩陣 有些計(jì)算命題表面上與求逆矩陣無關(guān)，但實(shí)質(zhì)上只有通過求逆矩陣才能算出來，而求逆矩陣須對所給的矩陣等式恒等變形，而且變形為兩矩陣的乘積等于單位矩陣的等式。 例 1 已知 EA?6 試求 11A 并證明 111 AA ?? ， 其中???????????????21232321A 解：由 EA?6 得到 EAAAAAEA ??????? 116666 故 111 AA ?? ， 而 A 又為正交矩陣， TAA ??1 （其中 TA 為 A 的轉(zhuǎn)置矩陣） 從而 ??????????????? ?21232321111 AA 同 時用行列變換求矩陣逆的方法 定理 如果用有限次行、列初等變換可將矩陣 A 化成單位矩陣 E ，且設(shè)用其中的行初等變換將單位矩陣 E 正化為 C ，用其中的列初等變換將單位矩陣 E 正化為 B ，那么BCA ??1 證明：設(shè) A 是一個 n 級可逆矩陣則 1221 PPPQA ks ??? ??1 其中 ? ?siQi ,2,1 ?? ， ? ?kjPj ,2,1 ?? 都是 n 級初等矩陣。由此即得 EPPAPQ ks ??????? 1121111121 ?? ??2 E 是 n 級單位矩陣，又寫成 EPPPEQA ks 1221 ??? ??3 那么 ? ? 112211 ?? ? EPPPEQA ks ?? ? ?? ?EQPPEP sk 1112111211 ??????? ?? ??4 比較 ??2 式和 ??4 式，并記 11211 ???? kPPEPB ?， EQC s 11121 ???? ? 即得 BCA ??1 。 具體求法用分塊矩陣表示就是： 若 ??????????? ???????? 0E0 B CE EA 經(jīng)過初等行列變換，則 BCA ??1 。 當(dāng) EB? 或 EC? 時，即第二種方法，因此這種求逆矩陣的方法是第二種方法式。 例 1： 設(shè)????????????012411210A ，求 1?A 。 解： 由以上定理我們構(gòu)造矩陣 ?????????????????????????????????????
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