【文章內(nèi)容簡介】 (229)利用(223)式，(228) 式(或（224)式)和(229)式就可以求波動方程初值問題(21)式，(22) 式和(23)式。在這里為了考慮到計算量的問題，我們選用(223)式，(224)式和(229)式計算正問題。在(223)中當時，我們可以設，這樣得到如下結果：設，則，及 若令， 則，,其中，為N1階單位矩陣。可得方程為 (230)所以求(21)、(22)及(23)的的離散后就轉(zhuǎn)化為求解(230)。這里用MATLAB編程求解方程。 電磁波正演模擬算例1. 混凝土中含有圓形空洞模型，反演區(qū)域，空間步長，時間，時間步長，采用雷克子波作為激勵源，其中心頻率，混凝土結構示意圖見圖1，縱向剖分260個節(jié)點，橫向剖分1000個節(jié)點；GPR剖面圖見圖2，時間采樣2036個，道數(shù)115道。圖1. 混凝土含空洞結構示意圖圖2. 混凝土含空洞結GPR剖面圖算例2. 混凝土中含有圓形鋼筋模型，以下所有算例的參數(shù)（反演區(qū)域、空間步長、時間、震源）與算例1相同，混凝土結構示意圖見圖3，GPR剖面圖見圖4。圖3. 混凝土含鋼筋結構示意圖圖4. 混凝土GPR剖面圖算例3. 混凝土中含有小圓形鋼筋模型，混凝土結構示意圖見圖5，GPR剖面圖見圖6。圖5. 混凝土含小圓形鋼筋結構示意圖圖6. 混凝土結GPR剖面圖算例4. 混凝土中含有上層小圓形鋼筋模型，下層小圓形空洞，混凝土結構示意圖見圖7，GPR剖面圖見圖8。圖7. 混凝土中含有上層小圓形鋼筋模型，下層小圓形空洞圖8. 混凝土GPR剖面圖算例5. 混凝土中含有上層小圓形空洞，下層小圓形鋼筋，混凝土結構示意圖見圖9，GPR剖面圖見圖10。圖9. 混凝土中含有上層小圓形空洞，下層小圓形鋼筋圖10. 混凝土含GPR剖面圖算例6. 混凝土中含有兩個豎向裂縫，混凝土結構示意圖見圖11，GPR剖面圖見圖12。圖11. 混凝土中含有兩個豎向裂縫圖12. 混凝土含有兩個豎向裂縫GPR剖面圖算例7. 混凝土中含有兩個橫向裂縫，混凝土結構示意圖見圖13，GPR剖面圖見圖14。圖13. 混凝土中含有兩個橫向裂縫圖14. 混凝土含有兩個橫向裂縫GPR剖面圖算例8. 混凝土中含有兩排小圓形鋼筋，混凝土結構示意圖見圖15，GPR剖面圖見圖16。圖15. 混凝土中含有兩排小圓形鋼筋圖16. 混凝土含有兩排小圓形鋼筋GPR剖面圖算例9. 混凝土中含有兩排大圓形鋼筋，混凝土結構示意圖見圖17，GPR剖面圖見圖18。圖17. 混凝土中含有兩排大圓形鋼筋圖18. 混凝土含有兩排大圓形鋼筋GPR剖面圖算例10. 混凝土中含有四排橫向長鋼筋，混凝土結構示意圖見圖19，GPR剖面圖見圖20。圖19. 混凝土中含有四排橫向長鋼筋圖20. 混凝土含有四排橫向長鋼筋GPR剖面圖算例11. 混凝土中含有四排橫向短鋼筋，混凝土結構示意圖見圖21，GPR剖面圖見圖22。圖21. 混凝土中含有四排橫向短鋼筋圖22. 混凝土含有四排橫向短鋼筋GPR剖面圖算例12. 混凝土中含有四列縱向長鋼筋，混凝土結構示意圖見圖23，GPR剖面圖見圖24。圖23. 混凝土中含有四列縱向短鋼筋圖24. 混凝土含有四列縱向短鋼筋GPR剖面圖 聲波正演模擬算例13. 混凝土中含有圓形空洞模型，反演區(qū)域，空間步長，時間，時間步長，采用雷克子波作為激勵源，其中心頻率。混凝土結構示意圖見圖25，縱向剖分260個節(jié)點，橫向剖分1000個節(jié)點，聲波反射剖面圖見圖26，時間采樣2036個，道數(shù)49道。圖25. 混凝土含空洞結構示意圖圖26. 混凝土含有四列縱向短鋼筋聲波反射剖面圖算例14. 混凝土中含有小圓形鋼筋大圓形空洞模型，混凝土結構示意圖見圖27，聲波反射剖面圖見圖28。圖27. 混凝土結構示意圖圖28. 混凝土含聲波反射剖面圖算例16. 混凝土中含有縱向裂縫模型，混凝土結構示意圖見圖29，聲波反射剖面圖見圖30。圖29. 混凝土結構示意圖圖30. 混凝土含聲波反射剖面圖算例17. 混凝土中含有縱向裂縫模型，混凝土結構示意圖見圖31，聲波反射剖面圖見圖32。圖31. 混凝土結構示意圖圖32. 混凝土含聲波反射剖面圖算例18. 混凝土中含有縱向裂縫模型，混凝土結構示意圖見圖33，聲波反射剖面圖見圖34。圖33. 混凝土結構示意圖圖34. 混凝土含聲波反射剖面圖 小結本節(jié)給出了電磁波及聲波在混凝土介質(zhì)中傳播的數(shù)學模型，數(shù)值算例中所給出的模型基本上都是含有空洞、鋼筋或二者共存的情況，通過數(shù)值算例中給出的剖面圖，我們認為電磁波及聲波無損檢測基本能夠識別鋼筋、裂縫這樣的目標體，并且對目標體的形狀和大小比較敏感，可以通過這樣的剖面圖的圖像特征來確定混凝土內(nèi)部的結構。第三章 信號處理 快速傅里葉變換（FFT）模擬信號在時域和頻域如圖3所示。圖1. 模擬信號在時間域分布圖圖2. 模擬信號在頻率域分布圖 （未去噪）圖3. 模擬信號在頻率域分布圖 （去噪）在信號處理中，第一步就是將時間信號轉(zhuǎn)化為頻率信號，通過FFT把信號的頻率域的特征讀取出來，具體地說就是經(jīng)過如下離散傅里葉變換： 這里分別表示信號的離散頻率函數(shù)和連續(xù)時間函數(shù)，分別表示采樣數(shù)和采樣點頻率域和時間域序號。 這個變換就是圖1和圖2之間的變換關系，而圖3則是在圖2的基礎上對頻率設置閾值，降噪音部分去掉，在本信號中我們選取截止高頻為20000MHz，截止低頻為60MHz。 一維Hilbert變換在混凝土檢測技術中，瞬時相位譜是一個非常重要的手段，我們在本項目中將其實現(xiàn)，主要是通過所謂的Hilbert變換技術，將離散信號轉(zhuǎn)化為解析信號，這樣就會得到原始信號的瞬時相位譜信息。具體變換如下， 假設原始信號為，頻率表示為，這里分別表示頻率域信號的實部與虛部，這兩個函數(shù)并不是孤立的，他們之間的關系就是所謂的Hilbert變換，具體形式如下： 。其實，Hilbert變換還有如下特性：（1）幅頻特征是全通性的；（2）相頻特征是負九十度。兩者統(tǒng)一考慮后可以表示為：所謂的瞬時相位譜就是將該信號的相位表示出來， 如圖4所示：圖4. 模擬信號瞬時相位譜分布圖 小波變換提到信號分析， 就不得不提小波分析，小波分析作為比較成型的信號分析手段在很多實際應用領域都體現(xiàn)了不可替代的作用，我們先將小波分析的概念簡單介紹一下。小波就是函數(shù)空間中滿足下述條件的一個函數(shù)或者信號：表示非零實數(shù)全體。有時，也稱為小波母函數(shù)， 上式稱為容許性條件。對于任意的實數(shù)對，其中，參數(shù)必須為非零實數(shù)，稱如下形式的函數(shù)為由小波母函數(shù)生成的依賴于參數(shù)的連續(xù)小波函數(shù)，簡稱為小波。其中a為尺度參數(shù)，b為平移參數(shù)。對于任意一個函數(shù)，它的連續(xù)小波變換的定義為:= 其逆變換為: 多分辨分析定義： 若下列條件成立，則中的一串閉子空間列 稱為依尺度函數(shù)的多分辨分析：1. （嵌套性）2. （稠密性）3. （分立性）4. （尺度性）5. （平移性）6. （標準正交基）函數(shù) ，且是的標準正交基。該定義是由Mallat和Meyer引進的，它詳細地闡述了多分辨率空間的數(shù)學性質(zhì)。由定義不難看出：(1) 對 ，函數(shù)族是子空間的一個標準正交基，被稱為尺度參數(shù)。為了避免混淆，我們特別強調(diào)：尺度參數(shù)是分辨率的倒數(shù)。(2) 若 是到子空間的正交投影算子，則對，有對，定義如下的子空間：容易驗證，子空間序列具有下述性質(zhì)：（1）；（2）；（3）。因此，根據(jù)（2）可知，為了得到空間的標準正交基，只需構造每一個子空間的標準正交基；再由（3）得到，這只需構造的標準正交基就足夠了。這樣，關鍵的問題就是構造函數(shù)，使得函數(shù)族是的標準正交基。由于而且有標準正交基,所以，必存在唯一的系數(shù)序列，使得 通常稱它為尺度方程。所以有即 =另一方面，待構造的小波函數(shù)，應該存在序列，使得稱之為構造方程。所以有 ==即 。在本項目中，借助上面介紹的多分辨分析的手段對接收信號進行處理，利用的小波是‘sym2’，一共做了32級分解，現(xiàn)在將小波變換后的圖像展示如下：圖5. 模擬信號12級分解圖圖6. 模擬信號6級分解圖圖7. 模擬信號1級分解圖從上面的圖中可以看出，隨著分解級別的逐漸降低或者說隨著分解空間的逐漸增大，信號的高頻部分逐漸顯現(xiàn)，小波信號不僅能夠起到去噪的作用，而且還能將信號的光滑部分和奇異部分分開，這樣對信號的認識更加準確。雖然高頻部分隨著分解級別的降低逐漸顯現(xiàn)，但是，我們還是能夠看出，這些高頻部分的信號振幅是急劇降低的，這樣從另一個側面也能說明，小波分析也能夠?qū)⒏鱾€頻率段的信號的能量分離開，這一特性對于混凝土的無損檢測有著重要的作用。 二維瞬時振幅、瞬時相位、瞬時頻率GPR或聲波反射信號可表示為，對進行Fourier變換，導出信號的頻譜，再進行Hilbert變換，可求出的Hilbert變換。通過及可以求得 （31） (32) (33)其中，分別為的瞬時振幅、瞬時相位、瞬時頻率。瞬時振幅波形反映了給定時刻反射信號能量大小及能量衰減情況，利用它可以推測地下介質(zhì)的性質(zhì)。瞬時相位波形反映地下介質(zhì)相位的變化，地下介質(zhì)電磁性差異常引起相位的變化，因此利用它可推測地下介質(zhì)的連續(xù)性。另外瞬時相位大小與反射波的振幅無關，因此利用它可研究地下深層介質(zhì)的性質(zhì)。瞬時頻率波形也反映了地下介質(zhì)性質(zhì)的變化，利用它可推測地下介質(zhì)的形狀及性質(zhì)。 二維小波變換Mallat二維塔式快速小波變換的分解過程如圖10所示。表示每兩行中抽取一行表示每兩列中抽取一列圖10 二維小波分解示意圖Mallat 算法通過一組分解濾波器H（低通濾波器LPF）和G（高通濾波器HPF）對信號進行濾波，然后對輸出結果進行下二采樣（指隔一取一）來實現(xiàn)小波分解，分解的結果是產(chǎn)生長度減半的兩個部分，一個是經(jīng)低通濾波器產(chǎn)生的原始信號的平滑部分，另一個則是經(jīng)高通濾波器產(chǎn)生的原始信號細節(jié)部分。重構時使用一組h 和g 合成濾波器對小波分解的結果濾波，再進行上二采樣（相鄰兩點間補零）來生成重構信號。多級小波分解通過級聯(lián)的方式進行，每一級的小波變換都是在前一級分解產(chǎn)生的低頻分量上的繼續(xù)，重構是分解的逆運算。低頻分量上的信息比較豐富，能量集中；高頻分量上的信息分量多為零，細節(jié)信息豐富，能量較少。 二維中值濾波設為離散二維信號，對于一個中心位于的(2N+1)(2N+1)的方形濾波窗口，可以定義一種基本子窗口為： （33）則多級中值濾波的輸出定義為： （34）其中，median[]表示一般中值濾波(MF)。 二維均值濾波設二維數(shù)據(jù)的形式可示為: （35）式中:S(x,y)為理想數(shù)據(jù),Ni(x,y)為噪聲。由于有噪聲存在,導致圖像的質(zhì)量下降。圖像噪聲概率分布雖不能確了解,但可假定噪聲為互不相關且均值為0的隨機噪聲。即:式中:E{ }表示數(shù)學期望算子。在一幅圖像內(nèi)部,以像素為單位,求周圍相鄰像素的均值并賦值給中心像素,就會起到類似濾波的效果,當做平均處理的噪聲圖像數(shù)目增加時,其統(tǒng)計平均值就越接近原始無噪聲圖像。這種運算的實質(zhì)是求窗口內(nèi)的所有像素點的平均值,然后將其賦給中心像素點,作為中心像素點的濾波輸出。這個取均值的模板其實是一個低通濾波器。因圖像細節(jié)信息主要分布在高頻區(qū)域,因此均值濾波的過程會導致圖像變模糊。如果模板選取過大,則這種模糊會加劇。模板選擇越小,去噪能力會下降。因此模板大小的選擇實際上是去噪能力和保留圖像細節(jié)的一種折中。這種方法在實際應用中的最大困難在于把多幅圖像配準,以便使相應的像素能正確地對應排列。 KarhunenLoeve變換KL變換是在統(tǒng)計意義上壓制隨機信號的一種濾波方法。在獲取任何一幅圖像的過程中，不可避免地混雜許多隨機干擾因素，即得到的圖像中含有很多隨機成分，一般稱其為隨機圖像。如對同一個地質(zhì)環(huán)境多次采集數(shù)據(jù)成像，每次得到的圖像都不盡相同。KL變換正是針對這類廣泛的隨機圖像提出的，對圖像施加KL變換以后，由變換結果恢復的圖像將是對原圖像在統(tǒng)計意義上的最佳逼近。具體算法如下：若X是N維向量，尋求正交矩陣A，使得A對X的變換Y的協(xié)方差矩陣Cy為對角陣。計算步驟如下：( 1) 由的N 階多項式, 求矩陣Cx的特征值( 2