向量法證明幾何命題(編輯修改稿)
2025-04-21 12:21 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 個向量的簡單加法，就可以直接證明命題，但在普通的方法中，先要證明兩個三角形全等，證明三角形全等需要用到幾個步驟，才可得到兩直線平行，而且垂直，雖然步驟不算太多，但顯然比用向量法證明費(fèi)時費(fèi)力，但因為很多學(xué)生對向量的運(yùn)算不熟練，所以選擇用三角形全等的方法去證明，所以我還是建議大家去熟悉一下向量的性質(zhì)，對一些簡單和復(fù)雜的幾何命題證明還是很有幫助的，可以大大節(jié)省證明步驟，而且思路比較簡單，一下子把整個題目證明出來． 例4[3] 試用向量法證明：平行四邊形對角線的平方和等于它個邊的平方和． 圖8 例4圖8 分析 平行四邊形中，設(shè)利用向量的加法和減法及向量數(shù)量積便可證得結(jié)論． 證明 在平行四邊形中，設(shè)則故又從而即平行四邊形對角線的平方和等于它個邊的平方和．2．4向量法處理垂直問題時的應(yīng)用 例5[4] 證明：假如一條直線與一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，那么它就和平面內(nèi)任何直線都垂直．圖 9 例5圖9 證明 設(shè)直線與平面內(nèi)兩相交直線與都垂直，下面證明與內(nèi)任意直線垂直．在直線上分別任意取非零向量依條件有，所以設(shè)，且，這表明兩個向量與互相垂直，也就是它們所在直線與互相垂直，從而直線垂直于平面． 其他方法的證明： 證明 依題意得直線直線．直線直線，所以直線直線，所在的平面，設(shè)任意直線在，的平面內(nèi)，所以直線直線．在這個垂直的證明中，也許很多人用第二種方法去證明，事實上第二種方法比較簡單，但用向量法證明這個方法比較新穎，用到一個向量的乘法，而這樣可以培樣一種創(chuàng)新的思維．例6[2] 在正三棱柱中，底邊長是，高是，是中點，求證面．圖10 例6圖10 證明：如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，知則又，則．而，所以面．2．5 向量法證明在數(shù)學(xué)競賽題中的應(yīng)用 例7[5] 如圖，中，為外心，三條高，交于點，直線和交于點，和交于點，求證： 圖11 例7圖11分析 ⑴第一小題比較簡單，可用直接法證明如下：由題意知四點共圓，所以因為為外心，從而即即從而 同理可證⑵又即從而． 例8[3] 中，分別在邊上，且相交于點．證明 是的重心當(dāng)且僅當(dāng)是的重心．圖12 例8圖12若是的重心，則設(shè)顯然有則有 由知，存在非零實數(shù)使得即，而不共線，故有 ，消去，得即 同理，由，可得 由，可得 ．解這個三元方程組易得 所以即是 的重心． 若是的重心，類似于上述證明過
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