立體幾何中的探索性問題65856(編輯修改稿)
2025-04-21 06:43 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 ，E是PB的中點(diǎn)，與夾角的余弦值為。（1）建立適當(dāng)?shù)目臻g坐標(biāo)系，寫出點(diǎn)E的坐標(biāo)。（2）在平面PAD內(nèi)是否存在一點(diǎn)F，使EF⊥平面PCB？解析：⑴以DA、DC、DP所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)P（0,0,2m）.則A(2,0,0)、B(2,2,0)、C(0,2,0)、E(1,1,m)，從而=(1,1,m),=(0,0,2m).PDACEB=，得m=1.所以E點(diǎn)的坐標(biāo)為（1,1,1）.（2）由于點(diǎn)F在平面PAD內(nèi)，故可設(shè)F()，由⊥平面PCB得：且，B即。所以點(diǎn)F的坐標(biāo)為（1,0,0）,即點(diǎn)F是DA的中點(diǎn)時(shí)，可使EF⊥平面PCB.【方法歸納】點(diǎn)F在平面PAD上一般可設(shè)、計(jì)算出后，D點(diǎn)是已知的，即可求出F點(diǎn)。在棱長為a的正方體ABCD－A1B1C1D1中，E、F分別是棱BC、CD上的點(diǎn)，且BE＝CF．（1）當(dāng)E、F在何位置時(shí)，B1F⊥D1E；（2）是否存在點(diǎn)E、F，使A1C⊥面C1EF？（3）當(dāng)E、F在何位置時(shí)三棱錐C1－CEF的體積取得最大值，并求此時(shí)二面角C1－EF－C的大?。猓海?）以A為原點(diǎn)，以為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)BE=x，則有因此，無論E、F在何位置均有（2）若A1C⊥面C1EF，則得矛盾，故不存在點(diǎn)E、F，使A1C⊥面C1EF（3）當(dāng)時(shí)，三棱錐C1—CEF的體積最大，這時(shí)，E、F分別為BC、CD的中點(diǎn)。連接AC交EF于G，則AC⊥EF，由三垂線定理知：C1G⊥EF，【方法歸納】 立體幾何中的點(diǎn)的位置的探求經(jīng)常借助于空間向量，引入?yún)?shù)，綜合已知和結(jié)論列出等式，解出參數(shù). 這是立體幾何中的點(diǎn)的位置的探求的常用方法.三、鞏固提高 在正三棱柱ABC—A1B1C1中，所有棱的長度都是2，M是BC邊的中點(diǎn)，問：在側(cè)棱CC1上是否存在點(diǎn)N，使得異面直線AB1和MN所成的角等于45176。？解：以A點(diǎn)為原點(diǎn)，建立如圖965所示的空間右手直角坐標(biāo)系A(chǔ)－xyz.因?yàn)樗欣忾L都等于2，所以A（0，0，0），C（0，2，0），B（，1，0），B1(，1，2)，M(，0).點(diǎn)N在側(cè)棱CC1上，可設(shè)N（0，2，m）（0≤m≤2），則=(，1，2)，=(，m)，于是||=2，||=，=2m1.如果異面直
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