相似三角形模型講一線三等角問題講義解答(編輯修改稿)
2025-04-21 06:31 本頁面
【文章內容簡介】 F?EG，又CE=BE，∴BE2=EF?EG．5. 解答：證明：連接AF，∵AD是角平分線，∴∠BAD=∠CAD，又EF為AD的垂直平分線，∴AF=FD，∠DAF=∠ADF，∴∠DAC+∠CAF=∠B+∠BAD，∴∠CAF=∠B，∵∠AFC=∠AFC，∴△ACF∽△BAF，即=，∴AF2=CF?BF，即FD2=CF?BF．6. 解答：解：（1）∵∠APD=∠C=90176。，∠A=∠A，∴△ADP∽△ABC，∴==，∵∠EPD=∠A，∠PED=∠AEP，∴△EPD∽△EAP．∴==．∴AE=2PE．（2）由△EPD∽△EAP，得==，∴PE=2DE，∴AE=2PE=4DE，作EH⊥AB，垂足為點H，∵AP=x，∴PD=x，∵PD∥HE，∴==．∴HE=x．又∵AB=2，y=（2﹣x）?x，即y=﹣x2+x．定義域是0＜x＜．另解：由△EPD∽△EAP，得==，∴PE=2DE．∴AE=2PE=4DE．∴AE=x=x，∴S△ABE=x2=x，∴=，即=，∴y=﹣x2+x．定義域是0＜x＜．（3）由△PEH∽△BAC，得=，∴PE=x?=x．當△BEP與△ABC相似時，只有兩種情形：∠BEP=∠C=90176?；颉螮BP=∠C=90176。．（i）當∠BEP=90176。時，=，∴=．解得x=．∴y=﹣x5+=．（ii）當∠EBP=90176。時，同理可得x=，y=．7. 解答：證明：∵BD、CE分別是AC與AB邊上的高，∴∠BEC=∠BDC，∴B、C、D、E四點共圓，∴∠AED=∠ACB，而∠A=∠A，∴△AED∽△ACB，∴；∵BD⊥AC，且∠A=60176。，∴∠ABD=30176。，AD=，∴BC=2DE．8. 解答：解：（1）有△DAE∽△DBA∽△ACE． ∵△ABC是等邊三角形∴∠ABC=∠ACB=∠BAC=60176。．∴∠D+∠DAB=60176。，∠E+∠CAE=60176。．∵∠DAE=120176。，∴∠DAB+∠EAC=60176。．∴∠D=∠CAE，∠E=∠DAB．∵∠D=∠D，∠E=∠E，∴△DAE∽△DBA∽△ACE．（2）∵△DBA∽△ACE，∴DB：AC=AB：CE．∵AB=AC=BC，DB=2，CE=6∴BC2=DB?CE=12，∵BC＞0，∴BC=2．9. 解答：證明：（1）在Rt△ABC中，∵AB=AC，∴∠B=∠C=45176。． ∵∠BAE=∠BAD+∠DAE，∠DAE=45176。，∴∠BAE=∠BAD+45176。． 而∠ADC=∠BAD+∠B=∠BAD+45176。，∴∠BAE=∠CDA． ∴△ABE∽△DCA． （2）由△ABE∽△DCA，得． ∴BE?CD=AB?AC． 而AB=AC，BC2=AB2+AC2，∴BC2=2AB2． ∴BC2=2BE?CD． 10. 解答：（1）證明：∵△ABC為等邊三角形，∴∠B=∠C=60176。，∵∠EDF=60176。，∴∠BED+∠EDB=∠EDB+∠FDC=120176。，∴∠BED=∠FDC，∴△BDE∽△CFD；（2）解：由（1）知△BDE∽△CFD，∴=，∵BC=6，BD=1，∴CD=BC﹣BD=5，∴=，解得BE=．11. 解答：解：（1）①∵∠APQ+∠CPQ=∠B+∠BAP，∠APQ=∠ABC，∴∠BAP=∠CQP．又∵AB=AC，∴∠B=∠C．∴△CPQ∽△BAP．∴．∵AB=AC=5，BC=8，BP=6，CP=8﹣6=2，∴，．②若點P在線段CB上，由（1）知，∵BP=x，BC=8，∴CP=BC﹣BP=8﹣x，又∵CQ=y，AB=5，∴，即．故所求的函數(shù)關系式為，（0＜x＜8）．若點P在線段CB的延長線上，如圖．∵∠APQ=∠APB+∠CPQ，∠ABC=∠APB+∠PAB，∠APQ=∠ABC，∴∠CPQ=∠PAB．又∵∠ABP=180176。﹣∠ABC，∠PCQ=180176。﹣∠ACB，∠ABC=∠ACB，∴∠ABP=∠PCQ．∴△QCP∽△PBA．∴．∵BP=x，CP=BC+BP=8+x，AB=5，CQ=y，∴，即（x≥8）．（2）①當點P在線段BC上，∵∠APQ=90176。，∴∠APB+∠QPC=90176。，∵∠PAB+∠APB=90176。，∴∠PAB=∠QPC，∵∠B=∠C=90176。，∴△ABP∽△PCQ，∴AB：PC=BP：CQ，即5：（5﹣BP）=BP：1，解得：，或，②當點P在線段BC的延長線上，則點Q在線段DC的延長線
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