直線與圓的方程典型例題(編輯修改稿)
2025-04-21 06:29 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 解：依題意有，解得.∵，∴.練習(xí)2：若直線與圓有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則的取值范圍是 .解：依題意有，解得，∴的取值范圍是. 圓上到直線的距離為的點(diǎn)共有（ ）．（A）1個(gè) （B）2個(gè) （C）3個(gè) （D）4個(gè)分析：把化為，圓心為，半徑為，圓心到直線的距離為，所以在圓上共有三個(gè)點(diǎn)到直線的距離等于，所以選C． 過(guò)點(diǎn)作直線，當(dāng)斜率為何值時(shí)，直線與圓有公共點(diǎn)，如圖所示．分析：觀察動(dòng)畫演示，分析思路．PEOyx解：設(shè)直線的方程為即根據(jù)有整理得解得．類型五：圓與圓的位置關(guān)系問(wèn)題導(dǎo)學(xué)四：圓與圓位置關(guān)系如何確定？例1判斷圓與圓的位置關(guān)系，例15：圓和圓的公切線共有 條。解：∵圓的圓心為，半徑，圓的圓心為，半徑，∴.∵，∴。練習(xí)1：若圓與圓相切，則實(shí)數(shù)的取值集合是 .解：∵圓的圓心為，半徑，圓的圓心為，半徑，且兩圓相切，∴或，∴或，解得或，或或，∴實(shí)數(shù)的取值集合是.2：求與圓外切于點(diǎn)，且半徑為的圓的方程.解：設(shè)所求圓的圓心為，則所求圓的方程為.∵兩圓外切于點(diǎn)，∴，∴，∴，∴所求圓的方程為.類型六：圓中的對(duì)稱問(wèn)題例1圓關(guān)于直線對(duì)稱的圓的方程是 GOBNMyAx圖3CA’例17 自點(diǎn)發(fā)出的光線射到軸上，被軸反射，反射光線所在的直線與圓相切（1）求光線和反射光線所在的直線方程．（2）光線自到切點(diǎn)所經(jīng)過(guò)的路程．分析、略解：觀察動(dòng)畫演示，分析思路．根據(jù)對(duì)稱關(guān)系，首先求出點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為，其次設(shè)過(guò)的圓的切線方程為根據(jù)，即求出圓的切線的斜率為或進(jìn)一步求出反射光線所在的直線的方程為或最后根據(jù)入射光與反射光關(guān)于軸對(duì)稱，求出入射光所在直線方程為或光路的距離為，可由勾股定理求得．說(shuō)明：本題亦可把圓對(duì)稱到軸下方，再求解．類型七：圓中的最值問(wèn)題例18：圓上的點(diǎn)到直線的最大距離與最小距離的差是 解：∵圓的圓心為（2，2），半徑，∴圓心到直線的距離，∴直線與圓相離，∴圓上的點(diǎn)到直線的最大距離與最小距離的差是.例19 (1)已知圓，為圓上的動(dòng)點(diǎn)，求的最大、最小值．(2)已知圓，為圓上任一點(diǎn)．求的最大、最小值，求的最大、最小值．分析：(1)、(2)兩小題都涉及到圓上點(diǎn)的坐標(biāo)，可考慮用圓的參數(shù)方程或數(shù)形結(jié)合解決．解：(1)(法1)由圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．可設(shè)圓的參數(shù)方程為（是參數(shù)）．則（其中）．所以，．(法2)圓上點(diǎn)到原點(diǎn)距離的最大值等于圓心到原點(diǎn)的距離加上半徑1，圓上點(diǎn)到原點(diǎn)距離的最小值等于圓心到原點(diǎn)的距離減去半徑1．所以．．所以．．(2) (法1)由得圓的參數(shù)方程：是參數(shù)．則．令，得，．所以，．即的最大值為，最小值為．此時(shí)．所以的最大值為，最小值為．(法2)設(shè)，則．由于是圓上點(diǎn)，當(dāng)直線與圓有交點(diǎn)時(shí)，如圖所示，兩條切線的斜率分別是最大、最小值．由，得．所以的最大值為，最小值為．令，同理兩條切線在軸上的截距分別是最大、最小值．由，得．所以的最大值為，最小值為．例20：已知，點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)，則的最小值是 .解：設(shè)，則，∴的最小值為.練習(xí)：1：已知點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng).（1）求的最大值與最小值；（2）求的最大值與最小值.解：（1）設(shè)，則表示點(diǎn)與點(diǎn)（2，1），解得，∴的最大值為，最小值為.（2）設(shè)，則表示直線在軸上的截距. 當(dāng)該直線與圓相切時(shí)，解得，∴的最大值為，最小值為.2 設(shè)點(diǎn)是圓是任一點(diǎn)，求的取值范圍．分析一：利用圓上任一點(diǎn)的參數(shù)坐標(biāo)代替、轉(zhuǎn)化為三角問(wèn)題來(lái)解決．解法一：設(shè)圓上任一點(diǎn)則有，∴，∴
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