數(shù)列習(xí)題課(一)(編輯修改稿)
2025-04-21 02:51 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 )解題步驟：第一步 利用Sn滿足條件p，寫出當(dāng)n≥2時(shí)，Sn－1的表達(dá)式；第二步 利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)，求出an或者轉(zhuǎn)化為an的遞推公式的形式；第三步 若求出n≥2時(shí)的{an}的通項(xiàng)公式，則根據(jù)a1＝S1求出a1，并代入{an}的通項(xiàng)公式進(jìn)行驗(yàn)證，若成立，則合并；若不成立，{an}的遞推公式，則問題化歸為類型二.跟蹤訓(xùn)練4 在數(shù)列{an}中，a1＝1，a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝an＋1(n∈N*)，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)an.考點(diǎn) an與Sn關(guān)系題點(diǎn) 由Sn與an遞推式求通項(xiàng)解 由a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝an＋1，得當(dāng)n≥2時(shí)，a1＋2a2＋3a3＋…＋(n－1)an－1＝an，兩式作差得nan＝an＋1－an，得(n＋1)an＋1＝3nan(n≥2)，即數(shù)列{nan}從第二項(xiàng)起是公比為3的等比數(shù)列，且a1＝1，a2＝1，于是2a2＝2，故當(dāng)n≥2時(shí)，nan＝23n－2.于是an＝{an}中，a1＝3，an＋1＝an＋，則通項(xiàng)公式an＝________.答案 4－解析 原遞推公式可化為an＋1＝an＋－，則a2＝a1＋－，a3＝a2＋－，a4＝a3＋－，…，an－1＝an－2＋－，an＝an－1＋－，逐項(xiàng)相加得an＝a1＋1－，故an＝4－.{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若S2＝4，an＋1＝2Sn＋1，n∈N*，則a1＝________，S5＝________.考點(diǎn) an與Sn關(guān)系題點(diǎn) 由Sn與an遞推式求通項(xiàng)答案 1 121解析 a1＋a2＝4，a2＝2a1＋1，解得a1＝1，a2＝3，再由an＋1＝2Sn＋1，即an＝2Sn－1＋1(n≥2)，得an＋1－an＝2an，即an＋1＝3an(n≥2)，又a2＝3a1，所以an＋1＝3an(n≥1)，S5＝＝121.{an}的前n項(xiàng)和Sn＝2an－1，則此數(shù)列的通項(xiàng)公式an＝________.考點(diǎn) an與Sn關(guān)系題點(diǎn) 由Sn與an遞推式求通項(xiàng)答案 2n－1解析 當(dāng)n＝1時(shí)，S1＝2a1－1，∴a1＝2a1－1，∴a1＝1.當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝(2an－1)－(2an－1－1)，∴an＝2an－1，∴{an}是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列，∴an＝2n－1，n∈N*.{an}的前n項(xiàng)和Sn＝1＋λan，其中λ≠{an}是等比數(shù)列，并求其通項(xiàng)公式.考點(diǎn) an與Sn關(guān)系題點(diǎn) 由Sn與an遞推式求通項(xiàng)解 由題意得a1＝S1＝1＋λa1，故λ≠1，a1＝，a1≠0.由Sn＝1＋λan，Sn＋1＝1＋λan＋1，得an＋1＝λan＋1－λan，即an＋1(λ－1)＝λan.由a1≠0，λ≠0得an≠0，所以＝.所以{an}是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，所以an＝n－1.，都是以等差數(shù)列、等比數(shù)列為基礎(chǔ).，對無窮數(shù)列來說只能算是一種猜想，是否對所有項(xiàng)都適用還需論證.，其本質(zhì)是猜想所給遞推公式可以變形為某種等差數(shù)列或等比數(shù)列，只是其系數(shù)還不知道，一旦求出系數(shù)，即意味著猜想成立，從而可以借助等差數(shù)列或等比數(shù)列求得通項(xiàng).，要注意n的取值范圍.一、選擇題{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋2n(n∈N*)，則a100的值是( ) 900 902 904 000考點(diǎn) 遞推數(shù)列通項(xiàng)公式求法題點(diǎn) an＋1＝pan＋f(n)型答案 B解析 a100＝(a100－a99)＋(a99－a9
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