必修二空間幾何證明經(jīng)典題型1資料(編輯修改稿)
2025-04-21 02:03 本頁面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 ．【解答】解：（I）證法一：取BE的中點(diǎn)H，連接HF、GH，（如圖） ∵G、F分別是EC和BD的中點(diǎn)∴HG∥BC，HF∥DE，（2分）又∵ADEB為正方形∴DE∥AB，從而HF∥AB∴HF∥平面ABC，HG∥平面ABC，HF∩HG=H，∴平面HGF∥平面ABC∴GF∥平面ABC（5分）證法二：取BC的中點(diǎn)M，AB的中點(diǎn)N連接GM、FN、MN（如圖）∵G、F分別是EC和BD的中點(diǎn)∴（2分）又∵ADEB為正方形∴BE∥AD，BE=AD∴GM∥NF且GM=NF∴MNFG為平行四邊形∴GF∥MN，又MN?平面ABC，∴GF∥平面ABC（5分）證法三：連接AE，∵ADEB為正方形，∴AE∩BD=F，且F是AE中點(diǎn)，（2分）∴GF∥AC，又AC?平面ABC，∴GF∥平面ABC（5分）（Ⅱ）∵ADEB為正方形，∴EB⊥AB，∴GF∥平面ABC（5分）又∵平面ABED⊥平面ABC，∴BE⊥平面ABC（7分）∴BE⊥AC又∵CA2+CB2=AB2∴AC⊥BC，∵BC∩BE=B，∴AC⊥平面BCE（9分）（Ⅲ）連接CN，因?yàn)锳C=BC，∴CN⊥AB，（10分）又平面ABED⊥平面ABC，CN?平面ABC，∴CN⊥平面ABED．（11分）∵三角形ABC是等腰直角三角形，∴，（12分）∵C﹣ABED是四棱錐，∴VC﹣ABED==（14分） 8．如圖，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，BC⊥AC，D，E分別是AB，AC的中點(diǎn)．（1）求證：B1C1∥平面A1DE；（2）求證：平面A1DE⊥平面ACC1A1．【解答】證明：（1）因?yàn)镈，E分別是AB，AC的中點(diǎn)，所以DE∥BC，…（2分）又因?yàn)樵谌庵鵄BC﹣A1B1C1中，B1C1∥BC，所以B1C1∥DE…（4分）又B1C1?平面A1DE，DE?平面A1DE，所以B1C1∥平面A1DE…（6分）（2）在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CC1⊥底面ABC，又DE?底面ABC，所以CC1⊥DE…（8分）又BC⊥AC，DE∥BC，所以DE⊥AC，…（10分）又CC1，AC?平面ACC1A1，且CC1∩AC=C，所以DE⊥平面ACC1A1…（12分）又DE?平面A1DE，所以平面A1DE⊥平面ACC1A1…（14分）9．如圖，在多面體ABCDEF中，四邊形ABCD是菱形，AC，BD相交于點(diǎn)O，EF∥AB，EF=AB，平面BCF⊥平面ABCD，BF=CF，G為BC的中點(diǎn)，求證：（1）OG∥平面ABFE；（2）AC⊥平面BDE． 【解答】證明：（1）∵四邊形ABCD是菱形，AC，BD相交于點(diǎn)O，∴O是AC中點(diǎn)，∵G為BC的中點(diǎn)，∴OG∥AB，∵OG?平面ABFE，AB?平面ABFE，∴OG∥平面ABFE．（2）∵四邊形ABCD是菱形，AC，BD相交于點(diǎn)O，∴AC⊥BD，O是AC中點(diǎn)，∵G為BC的中點(diǎn)，∵EF∥AB，EF=AB，平面BCF⊥平面ABCD，BF=CF，∴FG⊥平面ABCD，∴EO⊥平面ABCD，∴EO⊥AC，∵EO∩BD=O，∴AC⊥平面BDE．10．如圖所示，四棱錐P﹣ABCD的底面為直角梯形，AB⊥AD，CD⊥AD，CD=2AB．點(diǎn)E是PC的中點(diǎn)．（Ⅰ）求證：BE∥平面PAD；（Ⅱ）已知平面PCD⊥底面ABCD，且PC=DC．在棱PD上是否存在點(diǎn)F，使CF⊥PA？請(qǐng)說明理由．【解答】（1）證明：取PD中點(diǎn)Q，連結(jié)AQ、EQ．…（1分）∵E為PC的中點(diǎn)，∴EQ∥CD且EQ=CD．…（2分）又∵AB∥CD且AB=CD，∴EQ∥AB且EQ=AB．…（3分）∴四邊形ABED是平行四邊形，∴BE∥AQ．…（4分）又∵BE?平面PAD，AQ?平面PAD，∴BE∥平面PAD．…（5分）（2）解：棱PD上存在點(diǎn)F為PD的中點(diǎn)，使CF⊥PA，∵平面PCD⊥底面ABCD，平面PCD∩底面ABCD=CD，AD⊥CD，∴AD⊥平面PCD，∴DP是PA在平面PCD中的射影，∴PC=DC，PF=DF，∴CF⊥DP，∴CF⊥PA． 11．如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD是邊長為2的正方形，側(cè)面PAD⊥底面ABCD，且PA=PD=AD，E、F分別為PC、BD的中點(diǎn)．（1）求證：EF∥平面PAD；（2）求證：面PAB⊥平面PDC．【解答】證明：（1）連接AC，由正方形性質(zhì)可知，AC與BD相交于BD的中點(diǎn)F，F(xiàn)也為AC中點(diǎn)，E為PC中點(diǎn)．所以在△CPA中，EF∥PA，又PA?平面PAD，EF?平面PAD，所以EF∥平面PAD；（2）平面PAD⊥平面ABCD平面PAD∩面ABCD=AD?CD⊥平面PAD?CD⊥PA正方形ABCD中CD⊥ADPA?平面PADCD?平面ABCD又，所以PA2+PD2=AD2所以△PAD是等腰直角三角形，且，即PA⊥PD．因?yàn)镃D∩PD=D，且CD、PD?面PDC所以PA⊥面PDC又PA?面PAB，所以面PAB⊥面PDC． 12．在長方體ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=EC=．求證：（1）AC1∥平面BDE；（2）A1E⊥平面BDE．【解答】解：（1）ABCD﹣A1B1C1D1是長方體，AB=BC=EC=．可得平面ABCD和平面A1B1C1D1是正方形，E為CC1的中點(diǎn)．連接AC與DB交于O，連接OE，可得：AC1∥OE，OE?平面BDE．∴AC1∥平面BDE．（2）連接OA1，根據(jù)三垂線定理，可得OA1⊥DB，OE⊥DB，OA1∩OE=O，∴平面A1OE⊥DB．可得A1E⊥DB．∵E為CC1的中點(diǎn)．設(shè)AB=BC=EC=AA1=a∴，A1E=，A1B=∵A1B2=A1E2+BE2．∴A1E⊥EB．∵EB?平面BDE．BD?平面BDE．EB∩BD=B，∴A1E⊥平面BDE． 13．如圖，ACQP所在的平面與菱形ABCD所在的平面相互垂直，交線為AC，若分別是PQ，CQ的中點(diǎn)．求證：（1）CE∥平面PBD；（2）平面FBD⊥平面PBD．
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