希望杯試題1-10(編輯修改稿)
2025-04-21 01:10 本頁面
【文章內容簡介】 時取得最大值）.證明 當且僅當本推廣實際就是由著名的（柯西）不等式（當且僅當時取等號）直接得到的一個結論．推廣有十分廣泛的應用，現舉一例：例 已知求最大值．解 ＝8．由推廣知當且僅當即時取等號．題4 對于的一切實數，使不等式都成立的實數的取值范圍是＿＿＿＿（第十三屆高二培訓題第63題）解法1 題設等價于或或，即或或,所以或或，即.解法2 已知不等式即，令，則當，即時，是的一次函數，因為，即時不等式恒成立，所以在上的圖象恒在軸的下方，故有，即，解得 .又當時，適合題意，當時，不合題意.故的取值范圍是.評析 ，為了達到分離參數的目的，又對分大于0、小于0、等于0三類情形分別構建關于的不等式組，把已知不等式看成關于的不等式，使得此題的解決顯得既簡捷，又直觀易懂.題5 當時,不等式恒成立,則的最大值是________. (第十一屆高二培訓題第45題)解法1 當時, ①,又有 ②, ②+①2,得,得,.解法2 , 又 , , 即, 當且僅當 且 , 即 時取等號. 恒成立, . 于是.解法3 原不等式等價于 ,由 ,可知. 由 “兩個正數的平方平均值不小于它們的調和平均值”, 可知只需, 即即可, 故, 于是.解法4 即 ①成立，又恒成立， 只要滿足②就能使①②式，得，③.由于對稱軸，由二次函數的性質，當時，要③式恒成立，則 .解法5 設（），則=+=.－1），即2－，則，于是，由已知，得.OO x解法6 設則表示在坐標系第一象限內以原點為圓心，雙曲線相切或相離，從而，即 .解法7 運用結論“如果，則當且僅當（常數）時取等號.”，由柯西不等式，有①，由得②.故得，當且僅當時取等號，由，得 .解法8 運用結論“當且僅當成等差數列時取等號.”.，當且僅當，得 .評析 恒成立，.故問題的實質就是求的最小值（關于的式子），“兩個互為倒數的正數的和大于等于2”, 解法2運用配方再放縮, 解法3運用均值不等式及“兩個正數的平方平均值不小于它們的調和平均值”,解法5運用三角代換，（）一元二次不等式恒成立，求參數的范圍問題，、8則是運用一些現成的結論（讀者可自己證明），各種解法異彩紛呈，都值得細細品味.拓展 此題可作如下推廣：推廣1 若，則，當且僅當成等差數列時取等號.證明 由已知，則，.根據柯西不等式及解法7運用的不等式（）,有故.當且僅當成等差數列時取等號.推廣2 若，則，當且僅當時取等號.證明 不妨設 ， 由已知得令，則=.由均值不等式，即，則，即，當且僅當時取等號..題6 已知，設，，那么的大小關系是 （ ）A、 B、 C、 D、
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