希望杯試題1-10-展示頁
2025-04-03 01:10本頁面
【正文】 共邊的直角三角形，利用托勒密定理及圓的弦小于等于半徑使問題獲解，充分揭示了這一代數(shù)問題的幾何背景．拓展 此題可作如下推廣 若則（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得最大值）.證明 當(dāng)且僅當(dāng)本推廣實(shí)際就是由著名的（柯西）不等式（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)）直接得到的一個(gè)結(jié)論．推廣有十分廣泛的應(yīng)用，現(xiàn)舉一例：例 已知求最大值．解 ＝8．由推廣知當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取等號(hào)．題4 對于的一切實(shí)數(shù)，使不等式都成立的實(shí)數(shù)的取值范圍是＿＿＿＿（第十三屆高二培訓(xùn)題第63題）解法1 題設(shè)等價(jià)于或或，即或或,所以或或，即.解法2 已知不等式即，令，則當(dāng)，即時(shí)，是的一次函數(shù)，因?yàn)?，即時(shí)不等式恒成立，所以在上的圖象恒在軸的下方，故有，即，解得 .又當(dāng)時(shí)，適合題意，當(dāng)時(shí)，不合題意.故的取值范圍是.評(píng)析 ，為了達(dá)到分離參數(shù)的目的，又對分大于0、小于0、等于0三類情形分別構(gòu)建關(guān)于的不等式組，把已知不等式看成關(guān)于的不等式，使得此題的解決顯得既簡捷，又直觀易懂.題5 當(dāng)時(shí),不等式恒成立,則的最大值是________. (第十一屆高二培訓(xùn)題第45題)解法1 當(dāng)時(shí), ①,又有 ②, ②+①2,得,得,.解法2 , 又 , , 即, 當(dāng)且僅當(dāng) 且 , 即 時(shí)取等號(hào). 恒成立, . 于是.解法3 原不等式等價(jià)于 ,由 ,可知. 由 “兩個(gè)正數(shù)的平方平均值不小于它們的調(diào)和平均值”, 可知只需, 即即可, 故, 于是.解法4 即 ①成立，又恒成立， 只要滿足②就能使①②式，得，③.由于對稱軸，由二次函數(shù)的性質(zhì)，當(dāng)時(shí)，要③式恒成立，則 .解法5 設(shè)（），則=+=.－1），即2－，則，于是，由已知，得.OO x解法6 設(shè)則表示在坐標(biāo)系第一象限內(nèi)以原點(diǎn)為圓心，雙曲線相切或相離，從而，即 .解法7 運(yùn)用結(jié)論“如果，則當(dāng)且僅當(dāng)（常數(shù)）時(shí)取等號(hào).”，由柯西不等式，有①，由得②.故得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，由，得 .解法8 運(yùn)用結(jié)論“當(dāng)且僅當(dāng)成等差數(shù)列時(shí)取等號(hào).”.，當(dāng)且僅當(dāng)，得 .評(píng)析 恒成立，.故問題的實(shí)質(zhì)就是求的最小值（關(guān)于的式子），“兩個(gè)互為倒數(shù)的正數(shù)的和大于等于2”, 解法2運(yùn)用配方再放縮, 解法3運(yùn)用均值不等式及“兩個(gè)正數(shù)的平方平均值不小于它們的調(diào)和平均值”,解法5運(yùn)用三角代換，（）一元二次不等式恒成立，求參數(shù)的范圍問題，、8則是運(yùn)用一些現(xiàn)成的結(jié)論（讀者可自己證明），各種解法異彩紛呈，都值得細(xì)細(xì)品味.拓展 此題可作如下推廣：推廣1 若，則，當(dāng)且僅當(dāng)成等差數(shù)列時(shí)取等號(hào).證明 由已知，則，.根據(jù)柯西不等式及解法7運(yùn)用的不等式（）,有故.當(dāng)且僅當(dāng)成等差數(shù)列時(shí)取等號(hào).推廣2 若，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào).證明 不妨設(shè) ， 由已知得令，則=.由均值不等式，即，則，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)..題6 已知
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