列一元二次方程解應(yīng)用題經(jīng)典題型詳解(編輯修改稿)
2025-04-20 12:27 本頁面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 論梯子沿墻如何上下滑動(dòng)，梯子始終與墻上、地面構(gòu)成直角三角形.十一、航海問題圖5例11 如圖5所示，我海軍基地位于A處，在其正南方向200海里處有一重要目標(biāo)B，在B的正東方向200海里處有一重要目標(biāo)C，小島D恰好位于AC的中點(diǎn)，島上有一補(bǔ)給碼頭；小島F位于BC上且恰好處于小島D的正南方向，一艘軍艦從A出發(fā)，經(jīng)B到C勻速巡航．一艘補(bǔ)給船同時(shí)從D出發(fā)，沿南偏西方向勻速直線航行，欲將一批物品送往軍艦.（1）小島D和小島F相距多少海里？（2）已知軍艦的速度是補(bǔ)給船的2倍，軍艦在由B到C的途中與補(bǔ)給船相遇于E處，那么相遇時(shí)補(bǔ)給船航行了多少海里？（）解（1）F位于D的正南方向，則DF⊥⊥BC，D為AC的中點(diǎn)，所以DF＝AB＝100海里，所以，小島D與小島F相距100海里.（2）設(shè)相遇時(shí)補(bǔ)給船航行了x海里，那么DE＝x海里，AB+BE＝2x海里，EF＝AB+BC－(AB+BE)－CF＝(300－2x)海里.在Rt△DEF中，根據(jù)勾股定理可得方程x2＝1002+(300－2x)2，整理，得3x2－1200x+100000＝0.解這個(gè)方程，得x1＝200－≈，x2＝200+（不合題意，舍去）.所以，.說明 求解本題時(shí)，一定要認(rèn)真地分析題意，及時(shí)發(fā)現(xiàn)題目中的等量關(guān)系，并能從圖形中尋找直角三角形，以便正確運(yùn)用勾股定理布列一元二次方程.十二、圖表信息例12 如圖6所示，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為12，劃分成1212個(gè)小正方形格，將邊長(zhǎng)為n（n為整數(shù)，且2≤n≤11）的黑白兩色正方形紙片按圖中的方式，黑白相間地?cái)[放，第一張nn的紙片正好蓋住正方形ABCD左上角的nn個(gè)小正方形格，第二張紙片蓋住第一張紙片的部分恰好為(n－1)(n－1)，直到紙片蓋住正方形ABCD的右下角為止.請(qǐng)你認(rèn)真觀察思考后回答下列問題：（1）由于正方形紙片邊長(zhǎng)n的取值不同，完成擺放時(shí)所使用正方形紙片的張數(shù)也不同，請(qǐng)?zhí)顚懴卤恚杭埰倪呴L(zhǎng)n23456使用的紙片張數(shù)（2）設(shè)正方形ABCD被紙片蓋住的面積（重合部分只計(jì)一次）為S1，未被蓋住的面積為S2.①當(dāng)n＝2時(shí)，求S1∶S2的值；②是否存在使得S1＝S2的n值？若存在，請(qǐng)求出來；若不存在，請(qǐng)說明理由.圖6解（1）依題意可依次填表為：17.（2）S1＝n2+(12－n)[n2－(n－1)2]＝－n2+25n－12.①當(dāng)n＝2時(shí)，S1＝－22+252－12＝34，S2＝1212－34＝110.所以S1∶S2＝34∶110＝17∶55.②若S1＝S2，則有－n2+25n－12＝122，即n2－25n+84＝0，解這個(gè)方程，得n1＝4，n2＝21（舍去）.所以當(dāng)n＝4時(shí)，S1＝.說明 求解本題時(shí)要通過閱讀題設(shè)條件及提供的圖表，及時(shí)挖掘其中的隱含條件，對(duì)于求解第（3）小題，可以先假定問題的存在，進(jìn)而構(gòu)造一元二次方程，看得到的一元二次方程是否有實(shí)數(shù)根來加以判斷.十三、探索在在問題例13 將一條長(zhǎng)為20cm的鐵絲剪成兩段，并以每一段鐵絲的長(zhǎng)度為周長(zhǎng)做成一個(gè)正方形.（1）要使這兩個(gè)正方形的面積之和等于17cm2，那么這段鐵絲剪成兩段后的長(zhǎng)度分別是多少?（2）兩個(gè)正方形的面積之和可能等于12cm2嗎? 若能，求出兩段鐵絲的長(zhǎng)度；若不能，請(qǐng)說明理由.解（1）設(shè)剪成兩段后其中一段為xcm，則另一段為（20－x）cm.則根據(jù)題意，得+＝17，解得x1＝16，x2＝4，當(dāng)x＝16時(shí)，20－x＝4，當(dāng)x＝4時(shí)，20－x＝16，答 這段鐵絲剪成兩段后的長(zhǎng)度分別是4cm和16cm.（2）：不妨設(shè)剪成兩段后其中一段為ycm，則另一段為（20－y）+＝12，整理，得y2－20y+104＝0，移項(xiàng)并配方，得(y－10)2＝－4＜0，所以此方程無解，即不能剪成兩段使得面積和為12cm2.說明 本題的第（2）小問也可以運(yùn)用求根公式中的b2－－4ac≥0，方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，若b2－4ac＜0，方程沒有實(shí)數(shù)根，本題中的b2－4ac＝－16＜0即無解.十四、平分幾何圖形的周長(zhǎng)與面積問題例14 如圖7，在等腰梯形ABCD中，AB＝DC＝5，AD＝4，BC＝在下底邊BC上，點(diǎn)F在腰AB上.（1）若EF平分等腰梯形ABCD的周長(zhǎng)，設(shè)BE長(zhǎng)為x，試用含x的代數(shù)式表示△BEF的面積；（2）是否存在線段EF將等腰梯形ABCD的周長(zhǎng)和面積同時(shí)平分？若存在，求出此時(shí)BE的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說明理由；（3）是否存在線段EF將等腰梯形ABCD的周長(zhǎng)和面積同
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