決策問題的分類與決策原則(編輯修改稿)
2025-04-20 12:11 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 ) =[ l(θ,δ(x)) = l(θ,δ(x)) f(x |θ)dxπ(θ) dθ (1) 據(jù)(1)式，選使r(π，δ)達到極小，這就是正規(guī)型的貝葉斯分析。 在解實際問題時，求使(1)式極小的δ(x)往往十分困難，尤其在狀態(tài)和觀察值比較復(fù)雜時，Δ集中的策略數(shù)目很大，窮舉所有的δ(x)有困難，且計算量頗大。實際上可用下法：二、擴展型貝葉斯分析(Extensive Form Analysis)在(1)式中因l(θ,δ)∞，f(x｜θ)，π(θ)均為有限值。∴由Fubini定理，積分次序可換即r(π,δ(x))= l(θ,δ(x)) f(x |θ)dxπ(θ) dθ = l(θ,δ(x)) f(x |θ)π(θ) dθdx (2)顯然，要使(2)式達到極小，應(yīng)當對每個x∈X，選擇δ，使 l(θ,δ(x)) f(x |θ)π(θ) dθ （2’）為極小∵δ(x)=a ∴若對給定的x,選a，使 l(θ,δ(x)) f(x |θ)π(θ) dθ 為極小亦即，使 l(θ,a) f(x |θ)π(θ) dθ =l(,a) π(|x) dθ 或 l(,a)p(|x) (3) 達極小，即可使(1)式為極小.結(jié)論： 對每個x，選擇行動a，使之對給定x時θ的后驗分布π(θ｜x)的期望損失為極小，即可求得貝葉斯規(guī)則。 這種方法叫貝葉斯分析的擴展型，由此確定的貝葉斯規(guī)則叫formal Bayesean Rule ——Raiffa Sehlaifer,1961年提出。Note使(3)式達極小的行動可能不只一個，即可能有多個貝葉斯規(guī)則；擴展型比正規(guī)型更直觀，也容易計算，故更常用；許多分析人員只承認擴型，理由是： i，π(θ｜x)描述了試驗后的θ的分布，比π(θ)更客觀，因此，只要損失函數(shù)是由效用理論導(dǎo)出的(即考慮了DMer的價值判斷、風險偏好)，在評價行動a的優(yōu)劣時就應(yīng)當用后驗期望損失。 ii, r(π，δ)是根據(jù)π(θ)求出的，而用先驗分布π(θ)來確定行動a并不一定適當。 從根本上講，這種觀點是正確的。無論從何種觀點來進行貝葉斯分析，從理論上講，結(jié)果是一樣的，所以采用何種方法可視具體問題，據(jù)計算方便而定。已經(jīng)證明，形式貝葉斯分析對一類非隨機性決策規(guī)則是成立的，也可以證明它對隨機性決策規(guī)則同樣成立。使所有x上后驗期望損失極小的貝葉斯規(guī)則也是隨機性規(guī)則集Δ*中的Bayes規(guī)則，因此，總可以找到一驗期望損失極小的非隨機性規(guī)則。三、例(先看無觀察問題)農(nóng)民選擇作物問題，設(shè)某地旱年占60%，正常年景占40%。 種植耐旱作物種不耐旱作物，后果矩陣為: 20 0 60 100決策人的效用函數(shù) u(y)=(1)解：i令：l(y)=1u(y) ii,作決策樹：iii, 在無觀察時, R=l, r= l(,a)π() r(π, )=l(,)π()+l(,)π() = + = r(π, )= l(,)π()+l(,)π() = +0 =風險r小者優(yōu), ∴δ=，是貝葉斯規(guī)則, 。四、例(續(xù)上)，即p(|)= p(|)
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