萬有引力定律經(jīng)典例題(編輯修改稿)
2025-04-20 05:39 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 做圓周運(yùn)動(dòng)．3．模型特點(diǎn)(1)“向心力等大反向”——兩顆星做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的向心力由它們之間的萬有引力提供，故F1＝F2，且方向相反，分別作用在兩顆行星上，是一對作用力和反作用力．(2)“周期、角速度相同”——兩顆行星做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的周期、角速度相等．(3)“半徑反比”——圓心在兩顆行星的連線上，且r1＋r2＝L，兩顆行星做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的半徑與行星的質(zhì)量成反比．1．雙星系統(tǒng)由兩顆恒星組成，兩恒星在相互引力的作用下，分別圍繞其連線上的某一點(diǎn)做周期相同的勻速圓周運(yùn)動(dòng)．研究發(fā)現(xiàn)，雙星系統(tǒng)演化過程中，兩星的總質(zhì)量、距離和周期均可能發(fā)生變化．若某雙星系統(tǒng)中兩星做圓周運(yùn)動(dòng)的周期為T，經(jīng)過一段時(shí)間演化后，兩星總質(zhì)量變?yōu)樵瓉淼膋倍，兩星之間的距離變?yōu)樵瓉淼膎倍，則此時(shí)圓周運(yùn)動(dòng)的周期為( ) 解析：設(shè)兩顆雙星的質(zhì)量分別為mm2，做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑分別為rr2，根據(jù)萬有引力提供向心力可得G＝m1r1，G＝m2r2，聯(lián)立兩式解得m1＋m2＝，即T2＝，因此，當(dāng)兩星總質(zhì)量變?yōu)樵瓉淼膋倍，兩星之間的距離變?yōu)樵瓉淼膎倍時(shí)，兩星圓周運(yùn)動(dòng)的周期為T′＝T，B正確，A、C、D錯(cuò)誤．答案：B2．(多選)宇宙中存在一些質(zhì)量相等且離其他恒星較遠(yuǎn)的四顆星組成的四星系統(tǒng)，通常可忽略其他星體對它們的引力作用．設(shè)四星系統(tǒng)中每個(gè)星體的質(zhì)量均為m，半徑均為R，四顆星穩(wěn)定分布在邊長為a的正方形的四個(gè)頂點(diǎn)上．，下列說法正確的是( )A．四顆星圍繞正方形對角線的交點(diǎn)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)B．四顆星的軌道半徑均為C．四顆星表面的重力加速度均為D．四顆星的周期均為2πa解析：其中一顆星體在其他三顆星體的萬有引力作用下，合力方向指向?qū)蔷€的交點(diǎn)，圍繞正方形對角線的交點(diǎn)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，由幾何知識(shí)可得軌道半徑均為a，故A正確，B錯(cuò)誤；在星體表面，根據(jù)萬有引力等于重力，可得G＝m′g，解得g＝，故C正確；由萬有引力定律和向心力公式得＋＝m，T＝2πa，故D正確．答案：ACD，雙星系統(tǒng)中的星球A、B都可視為質(zhì)點(diǎn)．A、B繞兩者連線上的O點(diǎn)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，A、B之間距離不變，引力常量為G，觀測到A的速率為v、運(yùn)行周期為T，A、B的質(zhì)量分別為mm2.(1)求B的周期和速率．(2)A受B的引力FA可等效為位于O點(diǎn)處質(zhì)量為m′的星體對它的引力，試求m′.(用mm2表示)解析：(1)設(shè)A、B的軌道半徑分別為rr2，它們做圓周運(yùn)動(dòng)的周期T、角速度ω都相同，根據(jù)牛頓第二定律有FA＝m1ω2r1，F(xiàn)B＝m2ω2r2，即＝.故B的周期和速率分別為：TB＝TA＝T，vB＝ωr2＝ω＝.(2)A、B之間的距離r＝r1＋r2＝r1，根據(jù)萬有引力定律有FA＝＝，所以m′＝.答案：(1)T (2)解答雙星問題應(yīng)注意“兩等”“兩不等”(1)雙星問題的“兩等”①它們的角速度相等．②雙星做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的向心力由它們之間的萬有引力提供，即它們受到的向心力大小總是相等的．(2)雙星問題的“兩不等”①雙星做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的圓心是它們連線上的一點(diǎn)，所以雙星做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的半徑與雙星間的距離是不相等的，它們的軌道半徑之和才等于它們間的距離．②由m1ω2r1＝m2ω2r2知，由于m1與m2一般不相等，故r1與r2一般也不相等．[隨堂反饋]授課提示：對應(yīng)學(xué)生用書第59頁1．(2015高考重慶卷)宇航員王亞平在“天宮1號”飛船內(nèi)進(jìn)行了我國首次太空授課，演示了一些完全失重狀態(tài)下的物理現(xiàn)象．若飛船質(zhì)量為m，距地面高度為h，地球質(zhì)量為M，半徑為R，引力常量為G，則飛船所在處的重力加速度大小為( )A．0 B.C. D.解析：由＝mg′得g′＝，B項(xiàng)正確．答案：B2．(2015高考北京卷)假設(shè)地球和火星都繞太陽做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，已知地球到太陽的距離小于火星到太陽的距離，那么( )A．地球公轉(zhuǎn)周期大于火星的公轉(zhuǎn)周期B．地球公轉(zhuǎn)的線速度小于火星公轉(zhuǎn)的線速度C．地球公轉(zhuǎn)的加速度小于火星公轉(zhuǎn)的加速度D．地球公轉(zhuǎn)的角速度大于火星公轉(zhuǎn)的角速度解析：地球的公轉(zhuǎn)半徑比火星的公轉(zhuǎn)半徑小，由＝m2r，可知地球的周期比火星的周期小，故A項(xiàng)錯(cuò)誤；由＝m，可知地球公轉(zhuǎn)的線速度大，故B項(xiàng)錯(cuò)誤；由＝ma，可知地球公轉(zhuǎn)的加速度大，故C項(xiàng)錯(cuò)誤；由＝mω2r，可知地球公轉(zhuǎn)的角速度大，故D項(xiàng)正確．答案：D3．已知地球質(zhì)量為M，半徑為R，自轉(zhuǎn)周期為T，地球同步衛(wèi)星質(zhì)量為m，下列表述正確的是( )A．衛(wèi)星距離地面的高度為 B．衛(wèi)星的運(yùn)行速度等于第一宇宙速度C．衛(wèi)星運(yùn)行時(shí)受到的向心力大小為GD．衛(wèi)星運(yùn)行的向心加速度小于地球表面的重力加速度解析：由＝m(R＋h)2得h＝－R，A項(xiàng)錯(cuò)誤；近地衛(wèi)星的運(yùn)行速度等于第一宇宙速度，同步衛(wèi)星的運(yùn)行速度小于第一宇宙速度，B錯(cuò)誤；同步衛(wèi)星運(yùn)行時(shí)的向心力大小為F向＝，C錯(cuò)誤；由G＝mg得地球表面的重力加速度g＝G，而同步衛(wèi)星所在處的向心加速度g′＝，D正確．答案：D4.(2015成都七中二診)2013年12月2日，嫦娥三號探測器由長征三號乙運(yùn)載火箭從西昌衛(wèi)星發(fā)射中心發(fā)射，首次實(shí)現(xiàn)月球軟著陸和月面巡視勘察．假設(shè)嫦娥三號在環(huán)月圓軌道和橢圓軌道上運(yùn)動(dòng)時(shí)，只受到月球的萬有引力．則( )A．若已知嫦娥三號環(huán)月圓軌道的半徑、運(yùn)動(dòng)周期和引力常量，則可以計(jì)算出月球的密度B．嫦娥三號由環(huán)月圓軌道變軌進(jìn)入環(huán)月橢圓軌道時(shí)，應(yīng)讓發(fā)動(dòng)機(jī)點(diǎn)火使其加速C．嫦娥三號在環(huán)月橢圓軌道上P點(diǎn)的速度大于Q點(diǎn)的速度D．嫦娥三號在環(huán)月圓軌道上的運(yùn)行速率比月球的第一宇宙速度小解析：根據(jù)萬有引力提供向心力G＝mr，可以解出月球的質(zhì)量M＝，由于不知道月球的半徑，無法知道月球的體積，故無法計(jì)算月球的密度，故A錯(cuò)誤；嫦娥三號在環(huán)月段圓軌道上P點(diǎn)減速，使萬有引力大于向心力做近心運(yùn)動(dòng)，才能進(jìn)入環(huán)月段橢圓軌道，故B錯(cuò)誤；嫦娥三號從環(huán)月橢圓軌道上P點(diǎn)向Q點(diǎn)運(yùn)動(dòng)過程
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