【文章內(nèi)容簡介】 跑第二圈時速度提高了．已知沿跑道看從甲、乙兩人第二次相遇點到第一次相遇點的最短路程是190米，那么這條橢圓形跑道長多少米? 【分析與解】設(shè)甲跑第一圈的速度為3，那么乙跑第一圈的速度為2，甲跑第二圈的速度為4，乙跑第二圈的速度為. 如下圖，第一次相遇地點逆時針方向距出發(fā)點的跑道長度． 有甲回到出發(fā)點時，甲以“4”的速度跑了圈． 所以還剩下的跑道長度，甲以4的速度，乙以的速度相對而跑，．即第一次相遇點與第二次相遇點相差圈，所以，這條橢圓形跑道的長度為米．，在400米的環(huán)形跑道上，A,、乙兩人分別從A，B兩點同時出發(fā)，乙每秒跑4米，每人每跑100米，? 【分析與解】 如果甲、乙均不休息，那么甲追上乙的時間為100247。(54)=100秒． 此時甲跑了1005=500米，乙跑了1004=400米． 而實際上甲跑500米，所需的時間為100+410=140秒，所以140～150秒時甲都在逆時針距A點500處． 而乙跑400米所需的時間為100+310=130秒，所以130～140秒時乙走在逆時針距B點400處．顯然從開始計算140秒時，甲、乙在同一地點，即甲追上乙需要時間是140秒．，有相距100米的A，B兩點．甲、乙兩人分別從A，B兩點同時相背而跑，兩人相遇后，乙即轉(zhuǎn)身與甲同向而跑，當(dāng)甲跑到A時，乙恰好跑到B．如果以后甲、乙跑的速度和方向都不變，那么甲追上乙時，甲從出發(fā)開始，共跑了多少米? 【分析與解】 如下圖,記甲乙相遇點為C. 當(dāng)甲跑了AC的路程時，乙跑了BC的路程；而當(dāng)甲跑了400米時，乙跑了2BC的路程． 由乙的速度保持不變，所以甲、乙第一次相向相遇所需的時間是甲再次到達(dá)A點所需時間的. 即AC=400=200(米)，也就是甲跑了200米時，乙跑了100米，所以甲的速度是乙速度的2倍． 那么甲到達(dá)A，乙到達(dá)B時，甲追上乙時需比乙多跑400100=300米的路程，所以此后甲還需跑300247。(21)2=600米，加上開始跑的l圈400米．所以甲從出發(fā)到甲追上乙時，共跑了600+400=1000米．，一個長方形的房屋長13米，寬8米．甲、乙兩人分別從房屋的兩個墻角出發(fā)，甲每秒鐘行3米，:經(jīng)過多長時間甲第一次看見乙?【分析與解】 開始時，甲在順時針方向距乙8+13+8=29米．因為一邊最長為 1所以最少要追至只相差13，即至少要追上2913=16米． 甲追上乙16米所需時間為16247。(32)=16秒，此時甲行了316=48米，乙行了216=32米． 甲、乙的位置如右圖所示：顯然甲還是看不見乙，但是因為甲的速度比乙快，所以甲能在乙離開上面的那條邊之前到達(dá)上面的邊，從而看見乙．而甲要到達(dá)上面的邊，需再跑2米，所需時間為2247。3=秒．所以經(jīng)過16+=16秒后甲第一次看見乙.,學(xué)校操場的400米跑道中套著300米小跑道,大跑道與小跑道有200米路程相重．甲以每秒6米的速度沿大跑道逆時針方向跑,乙以每秒4米的速度沿小跑道順時針方向跑,兩人同時從兩跑道的交點A處出發(fā),當(dāng)他們第二次在跑道上相遇時,甲共跑了多少米?【分析與解】 如下圖,甲、乙只可能在大跑道上相遇．并且只能在AB順時針的半跑道上．易知小跑道AB逆時針路程為100,順時針路程為200,大跑道上AB的順、逆時針路程均是200米．我們將甲、乙的行程狀況分析清楚． 當(dāng)甲第一次到達(dá)B時,乙還沒有到達(dá)B點,所以第一次相遇一定在逆時針的BA某處． 而當(dāng)乙第一次到達(dá)B點時，所需時間為200247。4=50秒,此時甲跑了506=300米,在B點300200=100米處． 乙跑出小跑道到達(dá)A需100247。4=25秒,則甲又跑了256=150米,在A點左邊(100+150)200=50米處． 所以當(dāng)甲到達(dá)B處時,乙還未到B處,那么甲必定能在B點右邊某處與乙第二次相遇． 從乙再次到達(dá)A處開始計算,還需(40050)247。(6+4)=35秒,甲、乙第二次相遇,此時甲共跑了50+25+35=110秒．所以,從開始到甲、乙第二次相遇甲共跑了1106=660米．14．如圖35,正方形ABCD是一條環(huán)形公路．已知汽車在AB上時速是90千米，在BC上的時速是120千米，在CD上的時速是60千米,在DA上的時速是80千米．從CD上一點P,同時反向各發(fā)出一輛汽車,它們將在AB中點相遇．如果從PC的中點M,同時反向各發(fā)出一輛汽車,它們將在AB上一點N相遇．問A至N的距離除以N至B的距離所得到的商是多少? 【分析與解】 如下圖,設(shè)甲始終順時針運(yùn)動,乙始終逆時針運(yùn)動,并設(shè)正方形ABCD的邊長為單位“1”.有甲從P到達(dá)AB中點O所需時間為.乙從P到達(dá)AB中點O所需時間為.有甲、乙同時從P點出發(fā),則在AB的中點O相遇,所以有：=且有PD=DCPC=1PC,代入有,解得PC=. 所以PM=MC=,DP=. 現(xiàn)在甲、乙同時從PC的中點出發(fā),相遇在N點,設(shè)AN的距離為. 有甲從M到達(dá)N點所需時間為；乙從M到達(dá)N點所需時間為.有，=.所以AN247。BN，8時10分,有甲、乙兩人以相同的速度分別從相距60米的A，,丙、,8時24分與乙在E點相遇；丁由D向C走去，?【分析與解】 如下圖，標(biāo)出部分時刻甲、乙、丙、丁的位置． 先分析甲的情況，甲10分鐘，行走了AD的路程；再看乙的情況，乙的速度等于甲的速度，乙14分鐘行走了60+AE的路程，乙20分鐘走了60+AD+DF的路程．所以乙10分鐘走了(60+AD+DF)(AD)=60+DF的路程．有，有 然后分析丙的情況,丙4分鐘,行了走ED的路程,再看丁的情況,丁的速度等于丙的速度,丁10分鐘行走了DF的距離． 有，即5ED＝2DF． 聯(lián)立，解得 于是,得到如下的位置關(guān)系： =6087－(平方米)第五講 質(zhì)數(shù)與和數(shù)與質(zhì)數(shù)有關(guān)的構(gòu)造問題，通過分解質(zhì)因數(shù)求解的整數(shù)問題．有人說：“任何7個連續(xù)整數(shù)中一定有質(zhì)數(shù)．”請你舉一個例子，說明這句話是錯的． 【分析與解】 例如連續(xù)的7個整數(shù)：848484848484848分別能被8整除，電就是說它們都不是質(zhì)數(shù)．評注：有些同學(xué)可能會說這是怎么找出來的，翻質(zhì)數(shù)表還是……，我們注意到(n+1)!+2，(n+1)!+3，(n+1)!+4，…，(n+1)!+(n+1)這n個數(shù)分別能被…、(n+1)整除，它們是連續(xù)的n個合數(shù)．其中n!表示從1一直乘到n的積，即123…n．從小到大寫出5個質(zhì)數(shù)，使后面的數(shù)都比前面的數(shù)大12． 【分析與解】 我們知道12是3的倍數(shù)，如果開始的質(zhì)數(shù)是2或3，那么即與12的和一定也是2或3的倍數(shù)，將是合數(shù)，所以從5開始嘗試．有12453是滿足條件的5個質(zhì)數(shù)．3．9個連續(xù)的自然數(shù)，它們都大于80，那么其中質(zhì)數(shù)最多有多少個?【分析與解】 大于80的自然數(shù)中只要是偶數(shù)一定不是質(zhì)數(shù)，于是奇數(shù)越多越好，9個連續(xù)的自然數(shù)中最多只有5個奇數(shù)，它們的個位應(yīng)該為1，3，5，7，9．但是大于80且個位為5的數(shù)一定不是質(zhì)數(shù)，所以最多只有4個數(shù)．驗證101，102，103，104，105，106，107，108，109這9個連續(xù)的自然數(shù)中101010109這4個數(shù)均是質(zhì)數(shù)．也就是大于80的9個連續(xù)自然數(shù)，其中質(zhì)數(shù)最多能有4個．4. 用1，2，3，4，5，6，7，8，9這9個數(shù)字組成質(zhì)數(shù)，如果每個數(shù)字都要用到并且只能用一次，那么這9個數(shù)字最多能組成多少個質(zhì)數(shù)? 【分析與解】要使質(zhì)數(shù)個數(shù)最多，我們盡量組成一位的質(zhì)數(shù)，有7均為一位質(zhì)數(shù)，這樣還剩下9這5個不是質(zhì)數(shù)的數(shù)字未用．有9可以組成質(zhì)數(shù)489，而6可以與7組合成質(zhì)數(shù)67．所以這9個數(shù)字最多組成了4689這6個質(zhì)數(shù)．5．3個質(zhì)數(shù)的倒數(shù)之和是，則這3個質(zhì)數(shù)之和為多少? 【分析與解】設(shè)這3個質(zhì)數(shù)從小到大為a、b、c，它們的倒數(shù)分別為、計算它們的和時需通分，且通分后的分母為abc，求和得到的分?jǐn)?shù)為,如果這個分?jǐn)?shù)能夠約分，那么得到的分?jǐn)?shù)的分母為a、b、c或它們之間的積．現(xiàn)在和為，分母1986=23331，所以一定是a=2，b=3，c=331，檢驗滿足．所以這3個質(zhì)數(shù)的和為2+3+331=336．6．已知一個兩位數(shù)除1477，余數(shù)是49．求滿足這樣條件的所有兩位數(shù)．【分析與解】 有1477247。除數(shù)=商……49，那么147749：除數(shù)商，所以，除數(shù)商=1428=223717． 一般情況下有除數(shù)大于余數(shù)．即除數(shù)大于49且整除1428，有8568滿足． 所以滿足題意的兩位數(shù)有5684．7．有一種最簡真分?jǐn)?shù)，它們的分子與分母的乘積都是140．如果把所有這樣的分?jǐn)?shù)從小到大排列，那么第三個分?jǐn)?shù)是多少? 【分析與解】 有140=2257，因為這些分?jǐn)?shù)的分子與分母的乘積均為140，當(dāng)分母越大時，分子越小，所以對應(yīng)的分?jǐn)?shù)也越?。? 有分母從大到小依次為170、3211； 對應(yīng)分子從小到大依次為12370、140； 對應(yīng)分?jǐn)?shù)從小到大依次為而、、…其中第三個最簡真分?jǐn)?shù)為．8．某校師生為貧困地區(qū)捐款1995元．這個學(xué)校共有35名教師，14個教學(xué)班．各班學(xué)生人數(shù)相同且多于30人不超過45人．如果平均每人捐款的錢數(shù)是整數(shù)，那么平均每人捐款多少元?【分析與解】 這個學(xué)校最少有35+1430=455名師生，最多有35+1445=665名師生，并且?guī)熒側(cè)藬?shù)能整除1995．1995=35133，在455～665之間的約數(shù)只有5133=665，所以師生總數(shù)為665人，則平均每人捐款1995247。665=3元．9．在做一道兩位數(shù)乘以兩位數(shù)的乘法題時，小馬虎把一乘數(shù)中的數(shù)字5看成8，由此得乘積為1872．那么原來的乘積是多少? 【分析與解】 1872=22223313=口口口口，其中某個口為8，一一驗證只有：1872=4839，1872=7824滿足．