【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 nn unnu??0s i nl i m ??? nn ?又, ( ) .由 萊 布 尼 茲 定 理 得 原 級(jí) 數(shù) C)1( ?n57 高等數(shù)學(xué) D 二、任意項(xiàng)級(jí)數(shù) nu?? ????????nnn uuuu 211 任意項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散情況有下列三種 : 對(duì)任意項(xiàng)級(jí)數(shù) , 一般有無(wú)窮多正項(xiàng) , 無(wú)窮多負(fù)項(xiàng) , 但其各項(xiàng)的絕對(duì)值 組成了正項(xiàng)級(jí)數(shù) : 1. 絕對(duì)收斂 。 2. 條件收斂 。 3. 發(fā)散 . 58 高等數(shù)學(xué) D 定義 : 1,nnu???若 收 斂1nnu???則 稱(chēng) 條 件 收 斂1,nnu???若 發(fā) 散() () 1nnu???則 稱(chēng) 絕 對(duì) 收 斂1,nnu???而 收 斂1,nnu???對(duì) 任 意 項(xiàng) 級(jí) 數(shù) 而 言59 高等數(shù)學(xué) D 定理 : 11,nnnnuu??????設(shè) 任 意 項(xiàng) 級(jí) 數(shù) 若 級(jí) 數(shù) 收 斂則原級(jí)數(shù)也收斂。絕對(duì)收斂的級(jí)數(shù)必收斂。 60 高等數(shù)學(xué) D 證 : ,nu?由 收 斂0?nv則 ,nn uv ?且 ,nv?即 為 正 項(xiàng) 級(jí) 數(shù)( ) ,nuC?2 ( ) ,nvC? ?,)2(?? ?? nnn uvu對(duì))2( 性質(zhì)得級(jí)數(shù)也收斂收斂級(jí)數(shù)逐項(xiàng)相加減所?收斂。?? nu,則 由 比 較 法 ,)( Cv n??,2 nnn uvu ??又),2,1(),(21 ???? nuuv nnn作61 高等數(shù)學(xué) D 說(shuō)明 : 絕對(duì)收斂級(jí)數(shù)都是收斂級(jí)數(shù) , 反之 不成立 , 即收斂級(jí)數(shù)未必是絕對(duì)收斂級(jí) 數(shù) . 例 : ,)1(11收斂?????nnn 發(fā)散。但 ??? 11n n62 高等數(shù)學(xué) D ????1)1()1(nnn11( 1 ) nnnnu n????????,)()1(1Cnnn????但由萊布尼茨定理知11 , ( )nDn??? ?????1).()1( nnCCn則 判別下列級(jí)數(shù)的斂散性 , 若收斂則說(shuō)明是絕對(duì)收斂還是條件收斂 : 例 : 63 高等數(shù)學(xué) D (2) )0(4s i n1??????nnn,4si n1???nnn ?考察nn4sin ?)(411Cnn???? ,)(4s i n1Cnnn???? ?)..( CA原級(jí)數(shù)?n41?64 高等數(shù)學(xué) D (3) ???? ??11212)1(nnn n???? ??11212)1(nnn n考察用比值法 ????nnn uu 1li m)12(232li m????? nnn,)(2 121Cnnn?????.).( CA原級(jí)數(shù)?1232lim????nnn,121 ??????1 212nnn122?? nn66 高等數(shù)學(xué) D 為什么要討論級(jí)數(shù)的絕對(duì)收斂與條件收斂 ? 絕對(duì)收斂級(jí)數(shù)可以任意交換項(xiàng)的位置而不 因?yàn)橛泻芏嘈再|(zhì)是絕對(duì)收斂級(jí)數(shù)所具備的 , 而條件收斂的級(jí)數(shù)不具備 . 如 : 性質(zhì) . 改變它的收斂性及和數(shù) . 注 : 條件收斂的級(jí)數(shù)不具有這一性質(zhì) . 如 : ????? 4131211 條件收斂 , 其和記為 S 可以證明重新排序后的級(jí)數(shù) ?????????? 611119141715121311 S23收斂于 67 高等數(shù)學(xué) D ????? 4131211 條件收斂 , 其和記為 S 證明重新排序后的級(jí)數(shù) ?????????? 611119141715121311 S23收斂于 1 ,:2將 原 級(jí) 數(shù) 的 每 一 項(xiàng) 乘 以 并 改 寫(xiě) 成????????? 810610410210 它收斂于 S21再將它與原級(jí)數(shù)逐項(xiàng)相加 , 得重新排序后的級(jí)數(shù) ?????????? 611119141715121311 S23顯然收斂于 68 高等數(shù)學(xué) D 黎曼于 1854年證明了 : 可以把任何一個(gè) 條件收斂的級(jí)數(shù)的項(xiàng)適當(dāng)重排 , 使新級(jí)數(shù)收 斂于任何事先指定的數(shù) 。 也可以使重排后的 級(jí)數(shù)發(fā)散于正無(wú)窮大或負(fù)無(wú)窮大 . 69 高等數(shù)學(xué) D 課 外 作 業(yè) 習(xí)題 7 – 3(第 181頁(yè) ) 1(2, 4, 6, 9) 70 高等數(shù)學(xué) D 習(xí)題 72 (第 177頁(yè) ) 1. 用比較判別法或其極限形式判別下列正項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂 散性 : 11( 4 ) 。1n nn?? ??11 1n n n n??因 為則由正項(xiàng)級(jí)數(shù)的比較判別法知原級(jí)數(shù)收斂 . 321n?31 213 ,2n ppn????而 是 的 級(jí) 數(shù)3 1,2p ??由 知 其 收 斂71 高等數(shù)學(xué) D 1( 5 ) sin 。4 nn????s in4 lim nn???因 為則由正項(xiàng)級(jí)數(shù)的比較判別法極限形式知原級(jí)數(shù)收斂 . 1,?11 ,44nn????而 是 公 比 為 的 等 比 級(jí) 數(shù)4n?1 1,4 ?由 知 其 收 斂1. 用比較判別法或其極限形式判別下列正項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂 散性 : 72 高等數(shù)學(xué) D 13( 1 ) 。2nnn n???1 lim nn nuu???因 為則由正項(xiàng)級(jí)數(shù)的比值判別法知原級(jí)數(shù)發(fā)散 . 3 ,2nn nu n?113( 1 ) 2lim32nnnnnnn??????1132lim( 1 ) 2 3nnnnnnn???????3lim2 ( 1 )nnn??? ?23? ,1?2. 用比值判別法或其極限形式判別下列正項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂 散性 : 73 高等數(shù)學(xué) D 四、 冪 級(jí) 數(shù) 74 高等數(shù)學(xué) D （一）函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念 定義 : 上為定義在區(qū)間設(shè) Inxu n ),2,1()( ??,:的 函 數(shù) 列 則 表 達(dá) 式?? ???? )()()( 21 xuxuxu n簡(jiǎn)稱(chēng) (函數(shù)項(xiàng) ) 級(jí)數(shù) . 稱(chēng)為定義在區(qū)間 I 上的 函數(shù)項(xiàng)無(wú)窮級(jí)數(shù) , ????1)(nn xu75 高等數(shù)學(xué) D 0, xI?顯 然 對(duì) 于 確 定 的 點(diǎn)01( ) , , 。nnux???對(duì) 而 言 它 可 能 收 斂 也 可 能 發(fā) 散01( ) ( ) ,nnu x C???若收斂點(diǎn)全體稱(chēng)為它的收斂域 . 01( ) ,nnux???則 為 常 數(shù) 項(xiàng) 級(jí) 數(shù)01( ) ( ) ,nnu x D???若發(fā)散點(diǎn)全體稱(chēng)為它的發(fā)散域 . 01( ) ,nnx u x???則 稱(chēng) 為 的 收 斂 點(diǎn)01( ) ,nnx u x???則 稱(chēng) 為 的 發(fā) 散 點(diǎn) 76 高等數(shù)學(xué) D 對(duì)于 I 中的每一點(diǎn) , 不是收斂點(diǎn)就是發(fā)散點(diǎn) . 對(duì)收斂域內(nèi)任一點(diǎn) x, 函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)退化為 一收斂的常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù) , 所以有一確定的和 S, 顯然 S 與 x 有關(guān) , 由 x 惟一確定 . 所以收斂域上函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的和是點(diǎn) x 的函數(shù) , 記為 S(x), 1( ) .nnux??? 的 收 斂 域稱(chēng)為函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的 和函數(shù) , 其定義域就是 (注意 , 與一般項(xiàng) un(x) 的定義域不同 ) 77 高等數(shù)學(xué) D 同樣 , ),()(1xSnxu nnn 項(xiàng)部分和為的前記 ???則在收斂域內(nèi)有 )()(lim xSxS nn ???( ) ( ) ( )nnr x S x S x??其 余 項(xiàng), 在 收 斂 域 內(nèi) 有 0)(li m ??? xr nn121( ) ( ) ( ) ( ) ( )nn n iiS x u x u x u x u x?? ? ? ? ? ?78 高等數(shù)學(xué) D 21 : 1 nx x x? ? ? ? ?例 判 別 函 數(shù) 項(xiàng) 級(jí) 數(shù), .的 斂 散 性 并 求 其 收 斂 域 與 和 函 數(shù)解 ： ( , ) , ? ? ? ?級(jí) 數(shù) 的 定 義 域1?x1?x所以 的收斂域?yàn)? (?1, 1). ???0nnx.且 為 等 比 級(jí) 數(shù)x?11由前面的討論可知 當(dāng) 時(shí) , 這級(jí)數(shù)收斂于和 當(dāng) 時(shí) , 這級(jí)數(shù)發(fā)散 發(fā)散域?yàn)? ),1[]1,( ????? ?和函數(shù)為 x?1 1注意 : 和函數(shù)的定義域小于級(jí)數(shù)的定義域 . 79 高等數(shù)學(xué) D 習(xí)題 7 — 3 (第 181 頁(yè) ) 1. 判斷下列級(jí)數(shù)是否收斂 . 如果是收斂級(jí)數(shù) , 指出是絕對(duì)收斂 ? 還是條件收斂 ? 1( 1 )( 2 ) 。2nnn n????? 11( 1 ) 1 ,22nnnnnnn????? ?????因 為 nu???? nnn uu 1lim而12lim( 1 ) 2nnnnn ??????lim ( 1 )nnn??? ?12? ,1?11 ,2 nn n?? ??所 以 收 斂則原級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂 . 80 高等數(shù)學(xué) D 12( 4 ) ( 1 ) 。3nnn????? ?????1122( 1 ) ,33nnnnn????? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ???因 為122 ,33nn?????????而 是 公 比 為 的 等 比 級(jí) 數(shù),132 知其收斂由 ?則原級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂 . 1. 判斷下列級(jí)數(shù)是否收斂 . 如果是收斂級(jí)數(shù) , 指出是絕對(duì)收斂 ? 還是條件收斂 ? 81 高等數(shù)學(xué) D 31c o s( 6 ) 。nnn???? 3311c osc os =,nnnnnn????????因 為33c os 1 ,nnn? ?而311 ,n n???由 收 斂 )3( 級(jí)數(shù)的 ?? pp31c os ,nnn????得 收 斂則原級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂 . 1. 判斷下列級(jí)數(shù)是否收斂 . 如果是收斂級(jí)數(shù) , 指出是絕對(duì)收斂 ? 還是條件收斂 ? 82 高等數(shù)學(xué) D 11( 9 ) ( 1 ) 。21nnnn???? ??,2112lim ???? n nn因?yàn)? lim ( 1 ) 0 ,21nnnn????? ?所 以則原級(jí)數(shù)發(fā)散 . 1. 判斷下列級(jí)數(shù)是否收斂 . 如果是收斂級(jí)數(shù) , 指出是絕對(duì)收斂 ? 還是條件收斂 ? 83 高等數(shù)學(xué) D (二 ) 冪級(jí)數(shù)及其收斂域 定義 : 20 1 20nnnnna x a a x a x a x??? ? ? ? ? ??20 0 1 0 2 00( ( ) ( ) ( )nnna x x a a x x a x x??? ? ? ? ? ??或))( 0 ?? ???? nn xxa 的級(jí)數(shù)稱(chēng)為 冪級(jí)數(shù) . 其中常數(shù) 稱(chēng)為冪級(jí)數(shù)的系數(shù) , ?, 210 aaa 0 .x 是 常 數(shù)形如 ,),( ????00 ( )x x x??或顯然 , 冪級(jí)數(shù)的定義域?yàn)? 顯然是冪級(jí)數(shù)的收斂點(diǎn) . 84 高等數(shù)學(xué) D 冪級(jí)數(shù)是函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)中最常見(jiàn)最簡(jiǎn)單的一種 , 定理 1 （阿貝爾定理） 0nnnax???設(shè) 有00( 1 ) ( 0 ) ( * ) ( )x x x C??當(dāng) 時(shí)其收斂域如何 ? 在收斂域內(nèi) , 和函數(shù)如何求 ? (*)