【正文】 ( )nDn??????????23 高等數(shù)學(xué) D 111 : 1 .nn n??????????例 判 別 的 斂 散 性∴ 級(jí)數(shù)發(fā)散 . 1lim lim 1nnnnu n? ? ? ????? ????0?? e例 2: 11 1 1 1123n nn??? ? ? ? ? ??證明調(diào)和級(jí)數(shù) 發(fā)散 . 證 : (反證 ) 11 ( ) ,nCn???設(shè))( ??? nSS n則 此時(shí) )(2 ??? nSS n。)(02 ??????? nSSSS nn 解 : 24 高等數(shù)學(xué) D 21 1 11 2 2nnSS n n n? ? ? ? ???但 1 1 12 2 2nn n n? ? ? ?項(xiàng)矛盾 ! .)(11Dnn????212 ?? nn 0?。)(02 ??????? nSSSS nn25 高等數(shù)學(xué) D 課 外 作 業(yè) 習(xí)題 7 – 1 (第 173頁(yè) ) 4(1, 2, 3) 26 高等數(shù)學(xué) D 習(xí)題 71 (第 173頁(yè) ) 4. 判斷下列級(jí)數(shù)的斂散性 : 15( 1 ) ( 0 ) 。nnaa????級(jí)數(shù)為等比級(jí)數(shù) , 公比為 ,1aq ?aq1?所以當(dāng)a1? ,1? ,1 時(shí)即 ?a 級(jí)數(shù)收斂 。 1qa?當(dāng) a1? 1,? 0 1 ,a??即 時(shí)級(jí)數(shù)發(fā)散 . 27 高等數(shù)學(xué) D 4. 判斷下列級(jí)數(shù)的斂散性 : 13 ( 1)( 2 ) 。3nnn?????等比級(jí)數(shù) 的公比為 1 ,3q ?則由性質(zhì) 1知原級(jí)數(shù)收斂 . 133nn???1( 1)3nnn????1 1,3q ??由 知13 。 3 nn??? 收 斂等比級(jí)數(shù) 的公比為 1 ,3q ?? 1 1,3q ??由1( 1) 。 3nnn????知 也 收 斂13 ( 1) 。33nnnn???????????28 高等數(shù)學(xué) D 4. 判斷下列級(jí)數(shù)的斂散性 : 1( 3 ) 。10 1nnn?? ??則由級(jí)數(shù)收斂的必要條件知原級(jí)數(shù)發(fā)散 . 101110lim ???? nnn因?yàn)?,0?29 高等數(shù)學(xué) D 1. 定義 : 1, 0 ,nnnuu????若 中1.nnu???則 稱 為 正 項(xiàng) 級(jí) 數(shù) 許多級(jí)數(shù)斂散性的判斷都可以歸結(jié)為正項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性的判斷 . 第二節(jié) 正項(xiàng)級(jí)數(shù) 30 高等數(shù)學(xué) D 2. 正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂的充要條件 證 : ?收斂數(shù)列必有界 , { } .nS? 有 界)(1Cunn????)()0(1Cuu nnn ????定理 : { } .nS部 分 和 數(shù) 列 有 界li m ,nn SS????? { } ,nS又 有 界11 ,n n nS S u???? 1 0,nu ? ?而{ } ,nS? 單 增lim ,nn SS?? ?則 ????1nnu(C) 證畢 1 ,nnSS???31 高等數(shù)學(xué) D , { } ,nS對(duì) 正 項(xiàng) 級(jí) 數(shù) 若 部 分 和 數(shù) 列 無(wú) 界如 : 11,1nS n?? ?11 ,( 1 )n nn?? ?? 有界 )(C?11ln 1 ,n n?????????? l n ( 1 ) ,nSn??無(wú)界 )(D?則其必發(fā)散 . 0 1 ,nS??32 高等數(shù)學(xué) D )0(1????nnn uu )0(1????nnn vv? nv若),2,1( ??? nvu nn且? nu則3. 審斂法（判別法） 比較審斂法 : 設(shè)有兩個(gè)正項(xiàng)級(jí)數(shù) (C), (C). (1) (2) nu?若 (D), ? nv則 (D). 則 （大的收斂則小的也收斂） （小的發(fā)散則大的也發(fā)散） 33 高等數(shù)學(xué) D 證 : (1) 1,nnnuS???設(shè) 的 部 分 和 為1,nnnvT??? 的 部 分 和 為1,nnv???若 正 項(xiàng) 級(jí) 數(shù) 收 斂,M則存在正數(shù) 使得0,nTM??nn uuuS ????? ?210所以 nvvv ???? ?21 nT? ,M?1,nnu???即 正 項(xiàng) 級(jí) 數(shù) 的 部 分 和 有 收斂所以 ???nnu(2) :利 用 反 證 法1,nnv???若 正 項(xiàng) 級(jí) 數(shù) 收 斂可知?jiǎng)t由 )1(。1收斂???nnu1,nnu???與 條 件 發(fā) 散 矛 盾.1發(fā)散所以 ???nnv34 高等數(shù)學(xué) D 推論 . 即正項(xiàng)級(jí)數(shù)若從某項(xiàng)后滿足比較審 斂法的條件， 仍得同樣結(jié)果 . )0( ??? kkvuvu nnnn 改為若結(jié)論同樣成立 。 甚至上式只要在某個(gè)自然數(shù)后開始成立 即可 . 37 高等數(shù)學(xué) D 因?yàn)橐c已知斂散的級(jí)數(shù)的一般項(xiàng)進(jìn)行比較 , 等比級(jí)數(shù) ????11nnaq P 級(jí)數(shù) ???11npn所以必須掌握一些已知斂散的級(jí)數(shù) . 常用 : )1(11????pnn調(diào)和級(jí)數(shù) (D) 1||)( ?qC1||)( ?qD1)( ?pC1)( ?pD??????38 高等數(shù)學(xué) D 例 1. 判別下列正項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性 : (1) 211( 1 )n nn?? ??解 : 311n n???2311( 1 )n n n n???由13 ??p211 ()( 1 )n Cnn??? ??,13n?)(C39 高等數(shù)學(xué) D (2) 2111nnn?????解 : 211 nn????? ?1 11n n?211 ( ) .1nn Dn???????? ????? n13121? 2)1( 1 nn??? n?? 1 1221 1 nn n?? ?)(D22111nnnnn?????或 1?40 高等數(shù)學(xué) D (3) 13 ( 1 )3nnn?????解 : 3 ( 1 )3nn??1 1,3q ??13 ( 1 ) ()3nnnC????? ?43n?143 nn???而 )(C3 ( 1 )3nn?? 3 ( 1 )33nnn??? )()()( CCC ??利用41 高等數(shù)學(xué) D li m 0,且 nn nu lv?? ?? 比較審斂法的極限形式 : 11.nnnnuv??????則 與 有 相 同 的 斂 散 性 設(shè)正項(xiàng)級(jí)數(shù) ,1???nnu ,1???nnv )0,( ?nn vu42 高等數(shù)學(xué) D 例 2： 判別前例中級(jí)數(shù) (1),(2)的斂散性 ： )1(1lim2 ???nnn 311 ( ) ,nCn???∴ 原級(jí)數(shù)收斂 . 211( 1 )( 1 )n nn?? ??解 : 31n,1?43 高等數(shù)學(xué) D 211limnnn????11 ( ) ,nDn???∴ 原級(jí)數(shù)發(fā)散 . 211( 2 )1nnn?????2( 1 )lim1nnnn?????n1解 : ,1?44 高等數(shù)學(xué) D 11( 1 ) ln 1n n??????????1l n 1limnn?????????解 : 例 3: 判別級(jí)數(shù)的斂散性 : n1,)(11Dnn????∴ 原級(jí)數(shù)發(fā)散 . 1lim ln 1nn n??????????1li m ln 1 nn n??????????,1?45 高等數(shù)學(xué) D 11( 2 )2 ( 2 1 )n nn?? ?? 解 : 12 ( 2 1 )limnnn???∴ 原級(jí)數(shù)收斂 . 21n,)(112 Cnn????,41?lim 42nnn??? ?46 高等數(shù)學(xué) D 311( 3 )1n n?? ?? 解： 311limnn???∴ 原級(jí)數(shù)收斂 . 321n31 21 ( ) ,nCn???1,?33lim 1nnn??? ?47 高等數(shù)學(xué) D 比值審斂法（達(dá)朗貝爾判別法） 設(shè)正項(xiàng)級(jí)數(shù) 1( 0 ) ,nnnuu???? 1li m ,nn nuu ?????若則當(dāng) ,1??1()nnuC???1()nnuD??? ),(1 ??? 或????1nnu,1?? 斂散性不定 48 高等數(shù)學(xué) D 1(1 ) 2 nnn???解 : nnuu 1??∴ 原級(jí)數(shù)收斂 . 例 1: 判別下列正項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性 : 121???nnnn2? nn2 1?? ? 21??n ,1?49 高等數(shù)學(xué) D 11( 2 )( 1 ) !n n?? ??解 : ∴ 原級(jí)數(shù)收斂 . !nnnuu 1??n1? ? ,10 ???n= !)1( ?n50 高等數(shù)學(xué) D (3) ?? ????? nnn !3 !32 !21 32解 : 1)1(!)1(????nnn1nnn??? ?????.)( C原級(jí)數(shù)?nnuu 1??( 1 )nnnn? ?!nnn?? en 1?? ,1?由此題結(jié)論還可得 : !li m nnn?? ?51 高等數(shù)學(xué) D 前面介紹的判別正項(xiàng)級(jí)數(shù)斂 散性的比較、比值審斂方法，它 們都是充分條件。如果用它們無(wú) 法判斷該正項(xiàng)級(jí)數(shù)斂散性，那么 就要嘗試用級(jí)數(shù)收斂的定義、收 斂級(jí)數(shù)的性質(zhì)等去判別。 52 高等數(shù)學(xué) D 課 外 作 業(yè) 習(xí)題 7 – 2 (第 177頁(yè) ) 1(4, 5), 2(1) 53 高等數(shù)學(xué) D 第三節(jié) 交錯(cuò)級(jí)數(shù)與 任意項(xiàng)級(jí)數(shù) 各項(xiàng)正負(fù)交錯(cuò)的級(jí)數(shù)稱為 交錯(cuò)級(jí)數(shù) . ?? ??????? ? nn uuuuu 14321 )1(定義 : 如 : ?? ???????? nn uuuuu )1(4321或其中 ),2,1(0 ??? iu i 一、 交錯(cuò)級(jí)數(shù)及其審斂法 ??????11)1(nnn u?????1)1(nnn u54 高等數(shù)學(xué) D 交錯(cuò)級(jí)數(shù)審斂法（萊布尼茲定理） 若交錯(cuò)級(jí)數(shù) ?????11)1(nnn u滿足條件 : ),2,1()1 1 ??? ? nuu nn則此級(jí)數(shù) 收斂 , 1 .Su?且 其 和0lim)2 ??? nn u55 高等數(shù)學(xué) D 111??? nun判別下列級(jí)數(shù)的斂散性 : (1) ?????11 1)1(nnn解 : nu n 1??),(01 ???? nnu n又( ) ,原 級(jí) 數(shù) 且 和CS??????? 4131211例 : 1? .?萊布尼茲級(jí)數(shù) 56 高等數(shù)學(xué) D (2) 1( 1 ) sinnn n?????解 : 11s i ns i n ?????