【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 ? ， 都 有 )()( xfxF ?? 或dxxfxdF )()( ? ，那么函數(shù) )( xF 就稱為 )( xf 或dxxf )( 在區(qū)間 I 內(nèi)原函數(shù) .定義 原函數(shù)存在定理 如果函數(shù) )( xf 在區(qū)間 I 內(nèi)連續(xù)，那么在區(qū)間 I 內(nèi)存在可導(dǎo)函數(shù) )( xF ，使 Ix ?? ，都有)()( xfxF ?? .即： 連續(xù)函數(shù)一定有原函數(shù)． 不定積分 (1) 定義 在區(qū)間 I 內(nèi)，函數(shù) )( xf 的帶有任意常數(shù)項(xiàng)的原函數(shù)稱為 )( xf 在區(qū)間 I 內(nèi)的 不定積分 ，記為 ? dxxf )( ．CxFdxxf ??? )()(函數(shù) )( xf 的原函數(shù)的圖形稱為 )( xf 的 積分曲線 .? ?? dxxgxf )]()([1 0 ? ?? dxxgdxxf )()((2) 微分運(yùn)算與求不定積分的運(yùn)算是 互逆 的 . ? ?dxxkf )(2 0 ? dxxfk )( （ k 是常數(shù)， )0?k(3) 不定積分的性質(zhì) ? ? )()( xfdxxfdxd ?? dxxfdxxfd )(])([ ??? ??? CxFdxxF )()( ? ?? CxFxdF )()(第一類換元法 直接積分法 定理 1 設(shè) )( uf 具有原函數(shù)， )( xu ?? 可導(dǎo)，則有換元公式? ?? dxxxf )()]([ ?? ? ? )(])([ xuduuf ?第一類換元公式（ 湊微分法 ） 由定義直接利用基本積分表與積分的性質(zhì)求不定積分的方法 . 。)(.1 1 dxxxf nn ? 。)(.2 dxxxf。)(l dxx xf 。)1(.4 2 dxxxf。c o s)( si x d xxf 。)(.6 dxaaf xx常見(jiàn)類型 : 。sec)( t a 2 xdxxf 。1 )(a r c ta 2 dxx xf ?第二類換元法 定理 設(shè) )( tx ?? 是單調(diào)的、可導(dǎo)的函數(shù)，并且 0)( ?? t? ，又設(shè) )()]([ ttf ?? ? 具有原函數(shù)，則有換元公式? ? )()()]([)( xtdtttfdxxf ??? ??? ??其中 )( x? 是 )( tx ?? 的反函數(shù) .第二類換元公式 常用代換 : .,)(.1 Rbatx ??? ??.s i n,)(.222 taxxaxf ??? 令如三角函數(shù)代換.,)(.322 a s h txxaxf ??? 令如雙曲函數(shù)代換. tx ?令倒置代換分部積分法 分部積分公式 dxvuuvdxvu ?? ????duvuvu d v ?? ??選擇 u的有效方法 :LIATE選擇法 L對(duì)數(shù)函數(shù)； I反三角函數(shù)； A代數(shù)函數(shù)； T三角函數(shù)； E指數(shù)函數(shù)； 哪 個(gè)在前哪個(gè)選作 u. 幾種特殊類型函數(shù)的積分 （ 1）有理函數(shù)的積分 定義 兩個(gè)多項(xiàng)式的商表示的函數(shù)稱之 . mmmmnnnnbxbxbxbaxaxaxaxQxP?????????????11101110)()(??其中 m 、 n 都是非負(fù)整數(shù)； naaa , 10 ? 及mbbb , 10 ? 都是實(shí)數(shù)，并且 00 ?a ， 00 ?b .真分式化為部分分式之和的 待定系數(shù)法 四種類型分式的不定積分 。 CaxAaxAd x ????? 。))(1()(.2 1 Caxn Aax A d x nn ????? ??。a r c ta nln2.342422222CqxqNqpxxMdxqpxxNMxpppMp???????????????? ?? ???? ???? ? dxqpxx Nqpxx dxpxMdxqpxx NMx nMpnn )()( )2(2)(.4 2 222此兩積分都可積 ,后者有遞推公式 令 2ta n xu ?212s i nuux?? 2211c o suux???ux a r c t a n2?duudx 21 2??? ?dxxxR )co s,( s i n duuuuuuR2222 1211,12???????????（ 2） 三角函數(shù)有理式的積分 定義 由三角函數(shù)和常數(shù)經(jīng)過(guò)有限次四則運(yùn)算構(gòu)成的函數(shù)稱之．一般記為 )c o s,( s i n xxR（ 3） 簡(jiǎn)單無(wú)理函數(shù)的積分 討論類型： ),( n baxxR ? ),( n ecx baxxR ??解決方法： 作代換去掉根號(hào)． 。n ecx baxt ???令 。n baxt ??令定積分與廣義積分 問(wèn)題 1: 曲邊梯形的面積 問(wèn)題 2: 變速直線運(yùn)動(dòng)的路程 存在定理 廣義積分 定積分 定積分 的性質(zhì) 定積分的 計(jì)算法 牛頓 萊布尼茨公式 )()()( aFbFdxxfba ???問(wèn)題的提出 實(shí)例 1 （求曲邊梯形的面積 A） inii xfA ?? ???)(l i m10??曲邊梯形由連續(xù)曲線 )( xfy ? )0)(( ?xf 、x 軸與兩條直線 ax ? 、bx ? 所圍成 .實(shí)例 2 （求變速直線運(yùn)動(dòng)的路程） inii tvs ?? ???)(l i m10?? 設(shè)某物體作直線運(yùn)動(dòng)，已知速度 )( tvv ? 是時(shí)間間隔 ],[ 21 TT 上 t 的一個(gè)連續(xù)函數(shù)，且 0)( ?tv ，求物體在這段時(shí)間內(nèi)所經(jīng)過(guò)的路程 S.方法 :分割、求和、取極限 . 定積分的定義 設(shè)函數(shù) )( xf 在 ],[ ba 上有界，在 ],[ ba 中任意若干若干個(gè)分點(diǎn)bxxxxxa nn ??????? ? 1210 ?把區(qū)間 ],[ ba 分成 n 個(gè)小區(qū)間，各小區(qū)間的長(zhǎng)度依次為 1???? iii xxx ， ),2,1( ??i ，在各小區(qū)間上任取 一點(diǎn) i? （ ii x??? ），定義 ],[],[],[ 12110 nn xxxxxx ??怎樣的分法，? ??ba Idxxf )( iinixf ????)(l i m10??.也不論在小區(qū)間 ],[ 1 ii xx ? 上的取法， 只要當(dāng) 0?? 時(shí)，和 S 總趨于 確定的極限 I ，在區(qū)間 ],[ ba 上的 定積分 ，記為 記 },m a x { 21 nxxx ???? ?? ，如果不論對(duì) ],[ ba我們稱這個(gè)極限 I 為函數(shù) )( xf作乘積 ii xf ?)( ? ),2,1( ??i點(diǎn) i? 怎樣并作和 iinixfS ?? ??)(1? ，可積的兩個(gè) 充分 條件： 當(dāng)函數(shù) )( xf 在區(qū)間 ],[ ba 上連續(xù)時(shí)，定理 1 定理 2 設(shè)函數(shù) )( xf 在區(qū)間 ],[ ba 上有界，稱 )( xf 在區(qū)間 ],[ ba 上可積 .且只有有限個(gè)間斷點(diǎn)，則 )( xf 在區(qū)間],[ ba 上可積 .存在定理 定積分的性質(zhì) ? ?ba dxxgxf )]()([ ?? ba dxxf )( ?? ba dxxg )(性質(zhì) 1 ?? ? baba dxxfkdxxkf )()( ( k 為常數(shù) )性質(zhì) 2 ? ba dxxf )( ?? ?? bcca dxxfdxxf )()(假設(shè) bca ??性質(zhì) 3 則 0)( ?? dxxfba )( ba ?性質(zhì) 5 如果在區(qū)間 ],[ ba 上 0)( ?xf ，推論： 則 dxxfba? )( dxxgba?? )( )( ba ? 如果在區(qū)間 ],[ ba 上 )()( xgxf ? ，（ 1） dxxfba? )( dxxfba?? )()( ba ?（ 2） dxba ?? 1 dxba?? ab ??性質(zhì) 4 如果函數(shù) )( xf 在閉區(qū)間 ],[ ba 上連續(xù)，則在積分區(qū)間 ],[ ba 上至少存在一個(gè)點(diǎn) ? ， 使 dxxfba? )( ))(( abf ?? ? )( ba ?? ?性質(zhì) 7 (定積分中值定理 ) 設(shè) M 及 m 分別是函數(shù) 則 )()()( abMdxxfabm ba ???? ? . )( xf 在區(qū)間 ],[ ba性質(zhì) 6 上的最大值及最小值，積分中值公式 牛頓 —萊布尼茨公式 如果 )( xf 在 ],[ ba 上連續(xù)，則積分上限的函數(shù)dttfxxa??? )()( 在 ],[ ba 上具有導(dǎo)數(shù)，且它的導(dǎo)數(shù)是 )()()( xfdttfdxdxxa??? ? ? )( bxa ??定理 1 定理 2（原函數(shù)存在定理） 如果 )( xf 在 ],[ ba 上連續(xù)，則積分上限的函數(shù) dttfxxa??? )()( 就是)( xf 在 ],[ ba 上的一個(gè)原函數(shù) .定理 3（微積分基本公式） 如果 )( xF 是連續(xù)函數(shù))( xf 在區(qū)間 ],[ ba 上的一個(gè)原函數(shù)，則 )()()( aFbFdxxfba???.)]([)( baba xFdxxf ??也可寫(xiě)成 牛頓 —萊布尼茨公式 .],[],[:上的增量它的任一原函數(shù)在區(qū)間上的定積分等于一個(gè)連續(xù)函數(shù)在區(qū)間表明baba定積分的計(jì)算法 dtttfdxxfba ?? ?? ?? ?? )()]([)(換元公式 （ 1）換元法 （ 2）分部積分法 分部積分公式 ?? ?? bababa vduuvu d v ][定積分的應(yīng)用 微 元 法 理 論 依 據(jù) 名稱釋譯 所求量 的特點(diǎn) 解 題 步 驟 定積分應(yīng)用中的常用公式 （ 1 ） U 是與一個(gè)變量 x 的變化區(qū)間 ? ?ba , 有關(guān)的量；（ 2 ） U 對(duì)于區(qū)間 ? ?ba , 具有可加性，就是說(shuō)，如果把區(qū)間 ? ?ba , 分成許多部分區(qū)間，則 U 相應(yīng)地分成許多部分量，而 U 等于所有部分量之和；（ 3 ）部分量 iU? 的近似值可表示為 ii xf ?)( ? ；就可以考慮用定積分來(lái)表達(dá)這個(gè)量 U .所求量的特點(diǎn) 微元素法 1) 根據(jù)問(wèn)題的具體情況，選取一個(gè)變量例如 x 為積分變量，并確定它的變化區(qū)間 ],[ ba ；2 ）設(shè)想把區(qū)間 ],[ ba 分成 n 個(gè)小區(qū)間，取其中任一小區(qū)間并記為 ],[ dxxx ? ，求出相應(yīng)于這小區(qū)間的部分量 U? 的近似值．如果 U? 能近似地表示為 ],[ ba 上的一個(gè)連續(xù)函數(shù)在 x 處的值 )( xf 與dx 的乘積，就把 dxxf )( 稱為量 U 的元素且記作dU ，即 dxxfdU )(? ；3 ）以所求量 U 的元素 dxxf )( 為被積表達(dá)式，在區(qū)間 ],[ ba 上作定積分，得 ??badxxfU )( ，即為所求量 U ．解題步驟 定積分應(yīng)用的常用公式 (1) 平面圖形的面積 xyo)( xfy ??? ba dxxfA )(xyo )(1 xfy ?)(2 xfy ?? ?? ba dxxfxfA )]()([ 12A A直角坐標(biāo)情形 a b a b如果曲邊梯形的曲邊為參數(shù)方程 ?????)()(tytx??曲邊梯形的面積 ? ?? 21)()(tt dtttA ??（其中 1t 和 2t 對(duì)應(yīng)曲線起點(diǎn)與終點(diǎn)的參數(shù)值）在 [ 1t , 2t ] （或 [ 2t , 1t ] ）上 )( tx ?? 具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，)( ty ?? 連續(xù) .參數(shù)方程所表示的函數(shù) ?? ?? ??? dA 2)]([21xo??d?)(???r ??xo)(2 ???r)(1 ???r? ?? ?? ????? dA )]()([21 2122極坐標(biāo)情形 (2) 體積 x dxx? x y o dxxfVba2)]([?? ?dyyV dc 2)]([????xyo)( yx ??cdxo?? ba dxxAV )(x dxx?a b平行截面面積為已知的立體的體積 )(xA(3) 平面曲線的弧長(zhǎng) xoya bx dxx??dy弧長(zhǎng) dxys ba? ???21A．曲線弧為 ?????)()(tytx??)( ?? ?? t其中