【文章內(nèi)容簡介】 6 : 2426: 第 二 章 : 條件概率與統(tǒng)計獨(dú)立性 167。 5 條件概率與乘法規(guī)則 (1)取到廢品的概率。 (2)已知取到的是不合格品，它是廢品的概率。 解 ： (1)取到廢品用 A表示 2P A 0 0 2100( ) .??(2)基本事件總數(shù)為 5 2P A 0 45( ) .??一般設(shè) P(B)0。而 P(A)稱為無條件概率。 例 1 有 100件產(chǎn)品，其中有 5件是不合格品，包括 3件次品與 2件廢品，任取一件，求 定義 1 在事件 B已發(fā)生的條件下，事件 A發(fā)生的概率， 稱為事件 A在給定 B下的條件概率，簡稱為 A對 B的條 件概率，記作 P(A|B) 例 2 市場上供應(yīng)的電風(fēng)扇中，甲廠產(chǎn)品占 70％，乙廠占 30％。甲廠產(chǎn)品的合格率是 95％，乙廠的合格率是 80％。 若用事件 A,ā分別表示甲、乙兩廠的產(chǎn)品， B表示產(chǎn)品為 合格品，試寫出有關(guān)事件的概率。 解： 由題設(shè) P(A)= P(ā)= P(B|A)= P(B|ā)= P B A 0 0 5( | ) .?且 有P B A 0 2( | ) .?例 3 全年級 100名學(xué)生中，有男生 (事件 A)80人，女生 20人； 來自北京的 (事件 B)有 20人，其中男生 12人，女生 8人；免 修英語 (事件 C)有 40人，其中男生 32人，女生 8人。試寫出 P A P B P C P B A P A B P A B P C A P A B P A C( ) , ( ) , ( ) , ( | ) , ( | ) , ( ) , ( | ) , ( | ) , ( )解： 由題設(shè) 80PA100() ?＝ 20PB100() ?= = 40PC 100() ? 12P B A 80( | ) ? ＝ 12P A B20( | ) ?= 12P A B 100() ?= 32P C A80( | ) ?= 12P A B80( | ) ?= 32P A C100() ?= 在例 3中可以觀察到 P A B P A BP B A P A BP A P B( ) ( )( | ) , ( | )( ) ( )??它是條件概率的計算公式。 要求 P(A)0,P(B)0 關(guān)于 n個事件 A1,A2,…,A n的乘法規(guī)則是 P(A1A2…A n) ＝ P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)…P(A n|A1A2…A n－ 1) 定理 1 (乘法規(guī)則 ) 若 P(A)0,則 P(AB)=P(A)P(B|A) 若 P(B)0,則 P(AB)=P(B)P(A|B) 解： 甲廠生產(chǎn)的合格品，即 P(AB)=P(A)P(B|A) = = 乙廠生產(chǎn)的合格品，即 P(āB)=P(ā)P(B|ā) = = 為什么后者不是 1P(AB)? 因?yàn)?AB與 āB不是對立事件。 例 4 在例 1中求從市場上買一臺電風(fēng)扇是甲廠生產(chǎn) 的合格品的概率以及是乙廠生產(chǎn)的合格品的概率。 解： 設(shè) A、 B、 C分別表示甲、乙、丙抽到難簽。 4PA10()?25?P A B P A P B A( ) ( ) ( | )? 4310 9?? 215?P A B P A P B A( ) ( ) ( | )? 6410 9?? 415?P A B C P A P B A P C A B( ) ( ) ( | ) ( | )?4 3 21 0 9 8? ? ?130?例 5 10個考簽中有 4個難簽， 3人參加抽簽 (不放回 )， 甲先，乙次，丙最后。求甲抽到難簽，甲、乙都抽 到難簽，甲沒抽到難簽而乙抽到難簽以及甲乙丙都 抽到難簽的概率。 解： 設(shè) A表示第一件合格， B表示第二件合格。 在不放回時 295AB C2100基 本 事 件 總 數(shù) 為 的 基 本 事 件 數(shù) 為C ,2952100P A B CC() ?故 0 902.?另一方法 P(AB)=P(A)P(B|A) 9 5 9 41 0 0 9 9??0 902.?2295P A B100() ?放 回 時= P A B P A P B A( ) ( ) ( | )?或 9 5 9 51 0 0 1 0 0??= 例 6 設(shè) 100件產(chǎn)品中有 5件不合格，任取兩件，求 兩件均合格的概率，要求分為不放回與放回兩種 情況計算。 錯解： 在另 9個產(chǎn)品中 (含 3個廢品 )取到廢品的概率 31P 93??正解： 用 A表示第一件是廢品， B表示第二件是廢品 已知有一個是廢品，即表示至少有一個廢品，就是 A+B 若另一個也是廢品，則兩個都是廢品即 AB 因 (A+B)AB=AB 262102P A B 1 P A B 13CC( ) ( )? ? ? ? ? ? ?且4 3 2P A B P A P B A1 0 9 1 5( ) ( ) ( | )? ? ? ?P A B A B 122P A B A B1 5 3P A B 5(( ) )( | ( ))()?? ? ? ??故例 7 10件產(chǎn)品中有 4件廢品，任取兩件。若已知 有一個是廢品，求另一個也是廢品。 a + b 1P ( A |B )b?求 證 ：P A BP A BPB?證 ：()( | )()P A B P A P B P A B( ) ( ) ( ) ( )? ? ? ?由 于P A B P A P B P A B( ) ( ) ( ) ( )? ? ? ?故又因 P(A+B)≤1 P A B P A P B P A BP A BP B P B( ) ( ) ( ) ( )( | )( ) ( )? ? ???P A P B 1 a b 1P B b( ) ( )()? ? ? ???例 8 設(shè) A,B為兩個事件，且 P(A)=a0,P(B)=b0 例 : P62 例 2 167。 解： B=AB+āB且 AB與 āB互不相容。 P(B)=P(AB+āB) =P(AB)+P(āB) =P(A)P(B|A)+P(ā)P(B|ā) = + = P A BP A BPB()( | )()?P A P B AP A P B A P A P B A( ) ( | )( ) ( | ) ( ) ( | )? ?0 7 0 9 50 7 0 9 5 0 3 0 8... . . .??? ? ?0 735.?例 1 市場上供應(yīng)的燈泡中，甲廠產(chǎn)品占 70％，乙廠占 30％，甲廠產(chǎn)品的合格率是 95％，乙廠的合格率是 80％ 若用事件 A， ā分別表示甲、乙兩廠的產(chǎn)品， B表示產(chǎn)品 為合格品。求市場上買一個燈泡的合格率，及買到合格 燈泡是甲廠生產(chǎn)的概率。 定理 1 (全概率公式 )若事件 A1,A2,… 構(gòu)成一個完備事件組 并且都具有正概率，則對任何一個事件 B,有 iiiP B P A P B A? ?( ) ( ) ( | )證： A1,A2,… 兩兩互斥，故 A1B,A2B,… 兩兩互斥 BB??且iiBA()? ? iiAB?＝由加法法則 iiP B P A B( ) ( )? ?再由乘法法則 i i iP A B P A P B A( ) ( ) ( | )?iiiP B P A P B A( ) ( ) ( | )? ?故定理 2 (貝葉斯公式 )若事件 A1,A2,… 構(gòu)成一個完備事件組， 且都具有正概率，則對任何一個概率不為零的事件 B,有 mmmiiiP A P B AP A | BP A P B A? ?( ) ( | )()( ) ( | )mmP A BP A BPB＝證 ：()( | )()mmiiiP A P B AP A P B A( ) ( | )( ) ( | )?＝各原因下條件概率已知 求事件發(fā)生概率 求是某種原因造成得概率 事件已發(fā)生 全概率 貝葉斯 例 2 設(shè) 5支槍中有 2支未經(jīng)試射校正， 3支已校正。 一射手用校正過的槍射擊，中靶率為 ，用未校 正過的槍射擊，中靶率為 。 (1)該射手任取一支槍射擊，中靶的概率是多少？ (2)若任取一支槍射擊，結(jié)果未中靶，求該槍未校 正的概率。 解： 設(shè) A表示槍已校正， B表示射擊中靶 3PA5( ) ,?則2PA5()?P B A 0 9( | ) .?P B A 0 1( | ) .? P B A 0 4( | ) .? P B A 0 6( | ) .?1 P B P A P B A P A P B A( ) ( ) ( ) ( | ) ( ) ( | )??320 9 0 455..? ? ? ?07.＝P A P B A2 P A BP A P B A P A P B A( ) ( | )( ) ( | )( ) ( | ) ( ) ( | )? ?2 065230 6 0 155...??? ? ?08.