【文章內(nèi)容簡介】 在晶體中的運動狀態(tài)相同。因此，為了使 k 和平移算符的本征值一一對應， k 必須限制在一定范圍內(nèi)，使之既能概括所有不同的 ? 的取值，同時又沒有兩個波矢 k 相差一個倒格矢 Gn。與討論晶格振動的情況相似，通常將 k 取在由各個倒格矢的垂直平分面所圍成的包含原點在內(nèi)的最小封閉體積，即簡約區(qū)或第一布里淵區(qū)中。 3121 2 31 2 3hhhN N N? ? ?k b b b若將 k 限制在簡約區(qū)中取值，則稱為 簡約 波矢，若 k在整個k空間中取值，則稱為 廣延 波矢。 由于 h1， h2和 h3為整數(shù)，所以， k的取值不連續(xù)，在 k空間中， k的取值構成一個空間點陣，稱為態(tài)空間點陣。每一個量子態(tài) k在 k空間中所占的體積為 1 2 31 2 31 1 1 bN N N N?? ? ?b b b在 k空間中，波矢 k的分布密度為 ? ? 3388abvNVN?????? ? ???? ??kaV N v?? 晶 體 體 積在簡約區(qū)中，波矢 k的取值總數(shù)為 ? ? b N? ? ? ? ? 晶 體 的 原 胞 數(shù)k小結：波矢 k 的意義及取值 ： Bloch函數(shù)中的實矢量 k 起著標志電子狀態(tài)量子數(shù)的作用，稱作波矢，波函數(shù)和能量本征值都和 k 值有關， 不同的 k 值表示電子不同的狀態(tài)。 在自由電子情形，波矢 k 有明確的物理意義， 是自由電子的動量本征值。但 Bloch 波函數(shù)不是動量本征函數(shù)，而只是晶體周期勢場中電子能量的本征函數(shù)，所以， 不是 Bloch電子的真實動量，但它具有動量量綱，在考慮電子在外場中的運動以及電子同聲子、光子的相互作用時，會發(fā)現(xiàn) 起著動量的作用，被稱作電子的“準動量”或“晶體動量”。 在晶格周期勢場中的電子究竟有多少可能的本征態(tài)，即 k 可能取那些值，是我們需要知道的。晶格周期性和周期性邊界條件確定了 k 只能在第一 Brillouin 區(qū)內(nèi)取 N (晶體原胞數(shù)目）個值，所以 每個能帶中只能容納 2N 個電子。 kkk三 . Bloch函數(shù)的性質(zhì) Bloch函數(shù) ? ? ? ?ieu? ?? krkkrr平面波因子 表明在晶體中運動的電子已不再局域于 某個原子周圍，而是可以在整個晶體中運動的，這種電子 稱為 共有化電子 。它的運動具有類似行進平面波的形式。 那么，周期函數(shù) 的作用則是對這個波的振幅進行 調(diào)制 ，使它從一個原胞到下一個原胞作周期性振蕩，但這 并不影響態(tài)函數(shù)具有行進波的特性。 ie ?kr? ?uk r晶體中電子： ? ? ? ?ieu? ?? krkkrr自由電子： ? ? iAe? ?? krk r孤立原子： ? ? ? ?Cu? ?rr可以看出， 在晶體中運動電子的波函數(shù)介于自由電子與孤立原子之間，是兩者的組合 。如果晶體中電子的運動完全自由，則 ；若電子完全被束縛在某個原子周圍，則 。但 實際上晶體中的電子既不是完全自由的，也不是完全被束縛在某個原子周圍 ，因此，其波函數(shù)就具有 的形式。 周期函數(shù) 的性質(zhì) 就反映了電子與晶格相互作用的強弱。 ? ? c o n s t .uA??k r.ie C c o n s t? ??kr? ? ? ?ieu? ?? krkkrr ? ?uk r可以認為， Bloch函數(shù)中，行進波因子 描述晶體中電子的共有化運動，即電子可以在整個晶體中運動；而周期函數(shù)因子 則描述電子的原子內(nèi)運動，取決于原子內(nèi)電子的勢場。 從能量的角度看，如果電子只有原子內(nèi)運動（孤立原子情況），電子的能量 取分立的能級 ；若電子只有共有化運動（自由電子情況），電子的能量連續(xù)取值。 由于晶體中電子的運動介于自由電子與孤立原子之間，既有共有化運動也有原子內(nèi)運動，因此，電子的能量取值就表現(xiàn)為由能量的允帶和禁帶相間組成的能帶結構。 ie ?kr? ?uk r結語： 以上我們只是通過分析給出了固體中電子態(tài)函數(shù)的一般性 質(zhì)，而 為了得到清晰確切的結果，我們就必須對一個感興趣的、 特定固體的實際勢能 V(r) 去求解單電子的 Schr246。dinger方程， 然而即使是比較簡單的勢，其 Schr246。dinger方程的求解過程也是 一項數(shù)學推導極其繁瑣的工作，為了得到能與實驗對照的結果， 這樣做當然是非常必要的。但 如果只是為了更好地進一步理解周 期性勢場對電子運動的影響，我們最好是選擇使用經(jīng)過簡化的 勢，用最少量的數(shù)學過程來求解 Schr246。dinger方程，以便專心地 理解相關的物理問題。這就是我們后面幾節(jié)的內(nèi)容。 1. 近自由電子模型（ The Nearly Free Electron Model）該模型假設晶體勢很弱，晶體電子的行為很像是自由電子，我們可以在自由電子模型結果的基礎上用微擾方法去處理勢場的影響，這種模型得到的結果可以作為簡單金屬（如： Na,K,Al）價帶的粗略近似。 2. 緊束縛模型（ The TightBinding Model） 該模型假定原子勢很強，晶體電子基本上是圍繞著一個固定原子運動，與相鄰原子存在的很弱的相互作用可以當作微擾處理，所得結果可以作為固體中狹窄的內(nèi)殼層能帶的粗略近似，例如，過渡金屬的 3d能帶。 關鍵是得到周期勢場作用下，電子運動的一般特點，給出其狀態(tài)函數(shù)和能譜，并以此來解釋固體性質(zhì)。 本節(jié)習題： 一維周期勢場中電子的波函數(shù) 應滿足 Bloch定理 若晶格常數(shù)為 a，電子的波函數(shù)是： ? ?k x?? ?? ?? ? ? ?sin3c o skkklxxax i xax f x l a???????? ???????a) c) b) f 是某個確定的函數(shù)。 試求出電子在這些狀態(tài)時的波矢 k。 一、何謂近自由電子近似（ Nearly Free Electron ） 在周期場中 ， 若電子的勢能隨位置的變化 （ 起伏 ） 比較 小 ， 而電子的平均動能要比其勢能的絕對值大得多時 ， 電子 的運動就幾乎是自由的 。 因此 ， 我們可以把自由電子看成是 它的零級近似 ， 而將周期場的影響看成小的微擾來求解 。 （ 也稱為 弱周期場近似 ） 。 這個模型雖然簡單 ， 但卻給出周 期場中運動電子本征態(tài)的一些最基本特點 。 一. 何謂近自由電子近似 二. 定性描述 三. 微擾計算 見黃昆書 p157 一維周期場中電子運動的近自由電子近似 晶體中的電子感受到的一維晶格周期勢場 見于 Omar 書 p197 見于 Kittel 書 p118 二 . 近自由電子（ NFE）模型的定性描述 在 NFE 模型中，是以勢場嚴格為零的 Schr246。dinger方程的解（即電子完全是自由的）為出發(fā)點的，但必須同時滿足晶體平移對稱性的要求，我們稱之為 空格子模型 。 在一維情況下，空格子模型中的態(tài)函數(shù)和能量表達式為： 22( 0 ) ( 0 )1 ,2i k rkkkeEmL???? 上式中的 0 表示是未受微擾的解。自由電子的能量和波矢 關系是拋物線，但考慮到平移對稱性的要求，它被 Brillouin 區(qū) 邊界截成多段，可以平移倒易基矢