【正文】 ?? ? ? ? ???將以上各展開式代入 Schr246。kkk kkk U kEE??????波函數(shù)的一級修正為： ? ? 0U U x U? ? ?以上見黃昆書 p158, 有類似的微擾推導 2( 2 )( 0 ) ( 0 )kkkkk kkHEEE??? ?????二級微擾能量： 這里 ( 0 ) ( 0 )0Lk k k kH H d x k H k?????? ? ? ????0 012 e x pL i k x i k xnnnxe U i e d xLa?????? ??????? ??????0 012 e x pLnnnU i k k x d xLa???????? ? ? ???????????＝ { Un 當 k’＝ k+2?n/a 0 當 k’? k+2?n/a 于是，求得電子的能量為 222( 0 ) ( 2 )( 0 ) ( 0 )2kkk k kkk kkHkE E Em E E??? ??? ? ? ???22220 2 2 222 2nnmUkm nkka?????????????電子波函數(shù)為 ( 0 ) ( 1 ) ( 0 ) ( 0 )( 0 ) ( 0 )kkk k k k kkk kkHEE? ? ? ? ????? ??? ? ? ???? ?? ? 22 2 202 e x p 2 /1 12/i k x nnm U i n x aeL k k n a??????? ???????2 nkka?? ??? ?ik xkke u x? ?其中 ? ? ? ?? ? 22 2 202 e x p 2 /1 12/nknm U i n x auxL k k n a??????? ??????? 容易證明 uk(x)＝ uk(x+a)，是以 a 為周期的周期函數(shù)。 2. 簡并微擾 ( 0 ) ( 0 ) ( 0 )2/k k k n aEEE ?? ???當 時，非簡并微擾已不適用。 影響的結果是使原來能量較高的 k’ 態(tài)能量升高，而能量較低的 k 態(tài)的能量降低， 即微擾的結果使 k 態(tài)和 k’ 態(tài)的能量差進一步加大 。 Ek’(0) Ek(0) E－ E＋ Tn Tn 見黃昆書 p166 近自由電子模型的主要結果：見 Kittel 8版 p117 。 展開得 ? ? 2( 0 ) ( 0 )( 0 ) ( 0 )1224kkk k nnEEE E E UU????? ?? ?????? ? ? ???????由 ? ? ? ?2222( 0 ) 112knnETma???? ? ? ? ? ?????? ? ? ?2222( 0 ) 112knnETma????? ? ? ? ? ?????和 其中 為在布里淵區(qū)邊界處 自由電子的動能。也就是說，在布里淵區(qū)邊界上 nka??? 2 nnkkaa???? ? ? ?這時，這兩個態(tài)的能量相等，為簡并態(tài)。這種波函數(shù)由兩部分組成： 1 ikxL e第一部分是波數(shù)為 k的行進平面波 第二部分是該平面波受周期場的影響而產生的散射波。 令 ( 2 ) ( 2 ) ( 0 )k a??? ?代入二級微擾方程中可求得 補充： 按照量子力學一般微擾理論的結果，本征值的一、二 級修正項為： ? ?( 1 )220039。） 在區(qū)域的其它部分，能譜的形狀受到的影響很小，基本 保持了空格子模型的拋物線形式。dinger方程的解（即電子完全是自由的）為出發(fā)點的，但必須同時滿足晶體平移對稱性的要求，我們稱之為 空格子模型 。 關鍵是得到周期勢場作用下，電子運動的一般特點，給出其狀態(tài)函數(shù)和能譜，并以此來解釋固體性質。 ie ?kr? ?uk r結語： 以上我們只是通過分析給出了固體中電子態(tài)函數(shù)的一般性 質，而 為了得到清晰確切的結果，我們就必須對一個感興趣的、 特定固體的實際勢能 V(r) 去求解單電子的 Schr246。 那么，周期函數(shù) 的作用則是對這個波的振幅進行 調制 ，使它從一個原胞到下一個原胞作周期性振蕩，但這 并不影響態(tài)函數(shù)具有行進波的特性。 由于 h1， h2和 h3為整數(shù)，所以， k的取值不連續(xù)，在 k空間中， k的取值構成一個空間點陣，稱為態(tài)空間點陣。 如 ? ? ? ? ? ?111 ie? ? ? ??? ? ? kar a r r ?1反映的是沿 a1方向，相鄰兩個原胞中周期對應的兩點之間電子波函數(shù)的位相變化。 顯然，它們是 互易 的： ? ? ? ? ? ?T T f T f f? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?r r a r a a? ?T T f??? rT?T?－ T? T? = 0， 晶體中單電子運動的哈密頓量應具有晶格周期性： ? ? ? ? ? ?222T H f T U fm????? ? ? ????? rr r r? ? ? ?? ? ? ?222222UfmUfm? ??????? ? ? ? ? ???????? ? ? ? ?????rarr a r ar r a? ? ? ? ? ?222 U T f H T fm ????? ? ? ? ????? r r r r即： 平移算符和晶體中電子的哈密頓量是互易的 。 它確定了波動方程解的基本特點 。 黃昆 書 p154157 一. Bloch 定理 二. 關于 k 取值和意義的幾點討論： 三 . Bloch函數(shù)的性質 周期場中單電子狀態(tài)的一般特征 一 . Bloch定理 考慮一理想完整晶體，所有的原子實都周期性地靜止排列在其平衡位置上， 每一個電子都處在除其自身外其他電子的平均勢場和原子實的勢場中運動 。可以想像在 N 個原子組成的固體里，每一個原子能級都分裂為間隔很近的 N 個支能級，由于 N 之數(shù)值之大，可以認為各支能級緊連在一起，形成能帶。 通過上述近似，復雜多體問題變?yōu)橹芷趧輬鱿碌膯坞娮訂栴}，單電子薛定諤方程為： ? ? ? ? ? ?222 U r r E rm ????? ? ? ?????)()( rURrU n ??? ??其中： 這個方程是整個能帶論研究的出發(fā)點。 這是一個非常復雜的多體問題，不做簡化處理根本不可能求解。第六章 能帶理論（一） 第六章 能帶理論 周期場中單電子狀態(tài)的一般特征（ Bloch定理） 一維周期場中電子運動的近自由電子近似 三維周期場中電子運動的近自由電子近似 緊束縛近似（ TBA） 克勒尼希 彭尼（ KronigPenny） 模型 能帶結構的計算方法 晶體能帶的對稱性 能態(tài)密度和費米面 晶體中電子的運動特征 在恒定電場作用下電子的運動 導體、絕緣體和半導體的能帶論解釋 在恒定磁