【正文】 ?? ? ? ? ???將以上各展開(kāi)式代入 Schr246。kkk kkk U kEE??????波函數(shù)的一級(jí)修正為： ? ? 0U U x U? ? ?以上見(jiàn)黃昆書(shū) p158, 有類似的微擾推導(dǎo) 2( 2 )( 0 ) ( 0 )kkkkk kkHEEE??? ?????二級(jí)微擾能量： 這里 ( 0 ) ( 0 )0Lk k k kH H d x k H k?????? ? ? ????0 012 e x pL i k x i k xnnnxe U i e d xLa?????? ??????? ??????0 012 e x pLnnnU i k k x d xLa???????? ? ? ???????????＝ { Un 當(dāng) k’＝ k+2?n/a 0 當(dāng) k’? k+2?n/a 于是，求得電子的能量為 222( 0 ) ( 2 )( 0 ) ( 0 )2kkk k kkk kkHkE E Em E E??? ??? ? ? ???22220 2 2 222 2nnmUkm nkka?????????????電子波函數(shù)為 ( 0 ) ( 1 ) ( 0 ) ( 0 )( 0 ) ( 0 )kkk k k k kkk kkHEE? ? ? ? ????? ??? ? ? ???? ?? ? 22 2 202 e x p 2 /1 12/i k x nnm U i n x aeL k k n a??????? ???????2 nkka?? ??? ?ik xkke u x? ?其中 ? ? ? ?? ? 22 2 202 e x p 2 /1 12/nknm U i n x auxL k k n a??????? ??????? 容易證明 uk(x)＝ uk(x+a)，是以 a 為周期的周期函數(shù)。 2. 簡(jiǎn)并微擾 ( 0 ) ( 0 ) ( 0 )2/k k k n aEEE ?? ???當(dāng) 時(shí)，非簡(jiǎn)并微擾已不適用。 影響的結(jié)果是使原來(lái)能量較高的 k’ 態(tài)能量升高，而能量較低的 k 態(tài)的能量降低， 即微擾的結(jié)果使 k 態(tài)和 k’ 態(tài)的能量差進(jìn)一步加大 。 Ek’(0) Ek(0) E－ E＋ Tn Tn 見(jiàn)黃昆書(shū) p166 近自由電子模型的主要結(jié)果：見(jiàn) Kittel 8版 p117 。 展開(kāi)得 ? ? 2( 0 ) ( 0 )( 0 ) ( 0 )1224kkk k nnEEE E E UU????? ?? ?????? ? ? ???????由 ? ? ? ?2222( 0 ) 112knnETma???? ? ? ? ? ?????? ? ? ?2222( 0 ) 112knnETma????? ? ? ? ? ?????和 其中 為在布里淵區(qū)邊界處 自由電子的動(dòng)能。也就是說(shuō)，在布里淵區(qū)邊界上 nka??? 2 nnkkaa???? ? ? ?這時(shí)，這兩個(gè)態(tài)的能量相等，為簡(jiǎn)并態(tài)。這種波函數(shù)由兩部分組成： 1 ikxL e第一部分是波數(shù)為 k的行進(jìn)平面波 第二部分是該平面波受周期場(chǎng)的影響而產(chǎn)生的散射波。 令 ( 2 ) ( 2 ) ( 0 )k a??? ?代入二級(jí)微擾方程中可求得 補(bǔ)充： 按照量子力學(xué)一般微擾理論的結(jié)果，本征值的一、二 級(jí)修正項(xiàng)為： ? ?( 1 )220039。） 在區(qū)域的其它部分，能譜的形狀受到的影響很小，基本 保持了空格子模型的拋物線形式。dinger方程的解（即電子完全是自由的）為出發(fā)點(diǎn)的，但必須同時(shí)滿足晶體平移對(duì)稱性的要求，我們稱之為 空格子模型 。 關(guān)鍵是得到周期勢(shì)場(chǎng)作用下，電子運(yùn)動(dòng)的一般特點(diǎn)，給出其狀態(tài)函數(shù)和能譜，并以此來(lái)解釋固體性質(zhì)。 ie ?kr? ?uk r結(jié)語(yǔ)： 以上我們只是通過(guò)分析給出了固體中電子態(tài)函數(shù)的一般性 質(zhì)，而 為了得到清晰確切的結(jié)果，我們就必須對(duì)一個(gè)感興趣的、 特定固體的實(shí)際勢(shì)能 V(r) 去求解單電子的 Schr246。 那么，周期函數(shù) 的作用則是對(duì)這個(gè)波的振幅進(jìn)行 調(diào)制 ，使它從一個(gè)原胞到下一個(gè)原胞作周期性振蕩，但這 并不影響態(tài)函數(shù)具有行進(jìn)波的特性。 由于 h1， h2和 h3為整數(shù)，所以， k的取值不連續(xù)，在 k空間中， k的取值構(gòu)成一個(gè)空間點(diǎn)陣，稱為態(tài)空間點(diǎn)陣。 如 ? ? ? ? ? ?111 ie? ? ? ??? ? ? kar a r r ?1反映的是沿 a1方向，相鄰兩個(gè)原胞中周期對(duì)應(yīng)的兩點(diǎn)之間電子波函數(shù)的位相變化。 顯然，它們是 互易 的： ? ? ? ? ? ?T T f T f f? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?r r a r a a? ?T T f??? rT?T?－ T? T? = 0， 晶體中單電子運(yùn)動(dòng)的哈密頓量應(yīng)具有晶格周期性： ? ? ? ? ? ?222T H f T U fm????? ? ? ????? rr r r? ? ? ?? ? ? ?222222UfmUfm? ??????? ? ? ? ? ???????? ? ? ? ?????rarr a r ar r a? ? ? ? ? ?222 U T f H T fm ????? ? ? ? ????? r r r r即： 平移算符和晶體中電子的哈密頓量是互易的 。 它確定了波動(dòng)方程解的基本特點(diǎn) 。 黃昆 書(shū) p154157 一. Bloch 定理 二. 關(guān)于 k 取值和意義的幾點(diǎn)討論： 三 . Bloch函數(shù)的性質(zhì) 周期場(chǎng)中單電子狀態(tài)的一般特征 一 . Bloch定理 考慮一理想完整晶體，所有的原子實(shí)都周期性地靜止排列在其平衡位置上， 每一個(gè)電子都處在除其自身外其他電子的平均勢(shì)場(chǎng)和原子實(shí)的勢(shì)場(chǎng)中運(yùn)動(dòng) 。可以想像在 N 個(gè)原子組成的固體里，每一個(gè)原子能級(jí)都分裂為間隔很近的 N 個(gè)支能級(jí)，由于 N 之?dāng)?shù)值之大，可以認(rèn)為各支能級(jí)緊連在一起，形成能帶。 通過(guò)上述近似，復(fù)雜多體問(wèn)題變?yōu)橹芷趧?shì)場(chǎng)下的單電子問(wèn)題，單電子薛定諤方程為： ? ? ? ? ? ?222 U r r E rm ????? ? ? ?????)()( rURrU n ??? ??其中： 這個(gè)方程是整個(gè)能帶論研究的出發(fā)點(diǎn)。 這是一個(gè)非常復(fù)雜的多體問(wèn)題，不做簡(jiǎn)化處理根本不可能求解。第六章 能帶理論（一） 第六章 能帶理論 周期場(chǎng)中單電子狀態(tài)的一般特征（ Bloch定理） 一維周期場(chǎng)中電子運(yùn)動(dòng)的近自由電子近似 三維周期場(chǎng)中電子運(yùn)動(dòng)的近自由電子近似 緊束縛近似（ TBA） 克勒尼希 彭尼（ KronigPenny） 模型 能帶結(jié)構(gòu)的計(jì)算方法 晶體能帶的對(duì)稱性 能態(tài)密度和費(fèi)米面 晶體中電子的運(yùn)動(dòng)特征 在恒定電場(chǎng)作用下電子的運(yùn)動(dòng) 導(dǎo)體、絕緣體和半導(dǎo)體的能帶論解釋 在恒定磁