能帶理論一ppt課件(參考版)
2025-02-24 15:43本頁面
【正文】 Ek’(0) Ek(0) E－ E＋ Tn Tn 見黃昆書 p166 近自由電子模型的主要結(jié)果：見 Kittel 8版 p117 。 從以上的分析說明， 由于周期場的微擾， E(k)函數(shù)將在布里淵區(qū)邊界 k=?n?/a 處出現(xiàn)不連續(xù)，能量的突變?yōu)? 2gnE E E U??? ? ?這個能量突變稱為能隙，即禁帶寬度，這是周期場作用的結(jié)果。當(dāng) ? ?0時， 分別 以拋物線的方式趨于 Tn??Un?。 展開得 ? ? 2( 0 ) ( 0 )( 0 ) ( 0 )1224kkk k nnEEE E E UU????? ?? ?????? ? ? ???????由 ? ? ? ?2222( 0 ) 112knnETma???? ? ? ? ? ?????? ? ? ?2222( 0 ) 112knnETma????? ? ? ? ? ?????和 其中 為在布里淵區(qū)邊界處 自由電子的動能。 影響的結(jié)果是使原來能量較高的 k’ 態(tài)能量升高，而能量較低的 k 態(tài)的能量降低， 即微擾的結(jié)果使 k 態(tài)和 k’ 態(tài)的能量差進(jìn)一步加大 。dinger方程 ? ? ( 0 ) ( 0 )0H H E?? ? ? ?? ? ( 0 ) ( 0 ) ( 0 ) ( 0 )0 k k k kH H A B E A B? ? ? ???? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?利用 ( 0 ) ( 0 ) ( 0 )0 k k kHE??? 和 ( 0 ) ( 0 ) ( 0 )0 k k kHE??? ? ??得 ( 0 ) ( 0 ) ( 0 ) ( 0 ) 0k k k kA E E H B E E H?? ????? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ?(0)(0)00k kkk k kE E A H BH A E E B??????? ? ???? ??? ? ? ???{ 由于 k k nH k H k U?? ? ??? 2=+ πk k na?當(dāng) 時k k nH k H k k H k U? ??? ? ? ? ?? ? ?(0)(0)00knnkE E A U BU A E E B????? ? ?????? ? ? ???{ 上式分別左乘 ?k(0)*或 ?k’(0)* ，并積分得 解得 ? ?2 2( 0 ) ( 0 ) ( 0 ) ( 0 )1 42 k k k k nE E E E E U??? ??? ? ? ? ???這里 ? ?22 2 2 2( 0 ) 122kknEm m a???? ? ? ?????? ?22 2 22( 0 ) 122kknEm m a??? ??? ? ? ?????方程組有非零解的條件，即久期方程為 ( 0 )( 0 ) 0knnkE E UU E E???? ???(1) ( 0 ) ( 0 )k k nE E U? ? ? ? 這表示 k和 k’離布里淵區(qū)邊界還較遠(yuǎn)，因而 k 態(tài)和 k’ 態(tài)的能量還有較大的差別，這時將上式作 Taylor展開得： 2(0)( 0 ) ( 0 )nkkkUEEEE?? ??? ?2(0)( 0 ) ( 0 )nkkkUEEEE? ??? ?{ （設(shè) ? 0） 對應(yīng)于 Ek’(0) Ek(0)的情況，上式的結(jié)果與前面所討論的非簡并微擾計算的結(jié)果相似，只不過當(dāng)行進(jìn)波為 k 態(tài)時，在所產(chǎn)生的散射波中只保留了 k’ 態(tài)的影響；而當(dāng)行進(jìn)波為 k’ 態(tài)時，只保留了 k 態(tài)的影響?？梢哉J(rèn)為 (0) 1 ikxk eL? ?( 0 ) 1 i k xk eL??? ?和 互為行進(jìn)波和反射波，因此零級近似的波函數(shù)是這兩個波的線性組合。也就是說，在布里淵區(qū)邊界上 nka??? 2 nnkkaa???? ? ? ?這時，這兩個態(tài)的能量相等，為簡并態(tài)。 2. 簡并微擾 ( 0 ) ( 0 ) ( 0 )2/k k k n aEEE ?? ???當(dāng) 時，非簡并微擾已不適用。這時，周期場的影響就不能當(dāng)作微擾了 當(dāng) ( 0 ) ( 0 ) ( 0 )2/k k k n aEEE ?? ???時， 22 2 2 222knkm m a?????????即 散射波中，這種成分的振幅變得無限大，一級修正項 太大，微擾不適用了。 在一般情況下，由各原子產(chǎn)生的散射波的位相各不相同，因而彼此相互抵消，周期場對行進(jìn)平面波的影響不大，散射波中各成分的振幅均較小，可以用微擾法處理。這種波函數(shù)由兩部分組成： 1 ikxL e第一部分是波數(shù)為 k的行進(jìn)平面波 第二部分是該平面波受周期場的影響而產(chǎn)生的散射波。kkk kkk U kEE??????波函數(shù)的一級修正為： ? ? 0U U x U? ? ?以上見黃昆書 p158, 有類似的微擾推導(dǎo) 2( 2 )( 0 ) ( 0 )kkkkk kkHEEE??? ?????二級微擾能量： 這里 ( 0 ) ( 0 )0Lk k k kH H d x k H k?????? ? ? ????0 012 e x pL i k x i k xnnnxe U i e d xLa?????? ??????? ??????0 012 e x pLnnnU i k k x d xLa???????? ? ? ???????????＝ { Un 當(dāng) k’＝ k+2?n/a 0 當(dāng) k’? k+2?n/a 于是，求得電子的能量為 222( 0 ) ( 2 )( 0 ) ( 0 )2kkk k kkk kkHkE E Em E E??? ??? ? ? ???22220 2 2 222 2nnmUkm nkka?????????????電子波函數(shù)為 ( 0 ) ( 1 ) ( 0 ) ( 0 )( 0 ) ( 0 )kkk k k k kkk kkHEE? ? ? ? ????? ??? ? ? ???? ?? ? 22 2 202 e x p 2 /1 12/i k x nnm U i n x aeL k k n a??????? ???????2 nkka?? ??? ?ik xkke u x? ?其中 ? ? ? ?? ? 22 2 202 e x p 2 /1 12/nknm U i n x auxL k k n a??????? ??????? 容易證明 uk(x)＝ uk(x+a)，是以 a 為周期的周期函數(shù)。 39。39。 令 ( 2 ) ( 2 ) ( 0 )k a??? ?代入二級微擾方程中可求得 補充： 按照量子力學(xué)一般微擾理論的結(jié)果，本征值的一、二 級修正項為： ? ?( 1 )220039。 三、微擾計算： 考慮長度 的一維晶體 ? ? ? ? ? ?2222d U x x E xm d x ????? ?
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