【正文】 Bloch 定理。 Bloch 定理的物理證明（ 定性說明 ）： 周期勢場中的 波函數(shù) 也應(yīng) 具有周期性 是無疑的，因此方程 的解可以表示為： 其中 勢場的周期性也使與電子相關(guān)的所有可測量，包括電子幾率 也必定是周期性的，這就給未知函數(shù) 附加了下述 條件： ( ) ( ) ( )kkr f r u r? ?2()r? ()fr22( ) ( )nf r R f r??對于所有 都滿足此條件的函數(shù)只能是指數(shù)形式： 因此運動方程的解具有 Bloch 形式： nRik re ?( ) ( )k n ku r R u r??? ? ? ?ieu? ??kk krrr見馮端：凝聚態(tài)物理學(xué)（上） p141 詳細(xì)證明 ：（ 根據(jù)黃昆書 p154） 由于勢場的周期性反映了晶格的平移對稱性，可定義 一個平移 對稱操作 算符 T?，使得對于 任意函數(shù) f (r) 有 ? ? ? ?T f f????r r a這里， a?， ?＝ 1, 2, 3是晶格的三個基矢。為了確定平移算符的本征值，引入周期性邊界條件。 二 . 關(guān)于 k 取值和意義的幾點討論： ? ? ? ?ieu? ?? krkkrr 波矢量 k 是對應(yīng)于平移算符本征值的量子數(shù)，其物理意義表示不同原胞之間電子波函數(shù)的 位相變化。 ? ? ? ?ieu? ??? krkkrr對于 k： ie ??? ?? ka對于 k’＝ k+Gn： 39。 3121 2 31 2 3hhhN N N? ? ?k b b b若將 k 限制在簡約區(qū)中取值，則稱為 簡約 波矢，若 k在整個k空間中取值，則稱為 廣延 波矢。但 Bloch 波函數(shù)不是動量本征函數(shù)，而只是晶體周期勢場中電子能量的本征函數(shù)，所以， 不是 Bloch電子的真實動量，但它具有動量量綱，在考慮電子在外場中的運動以及電子同聲子、光子的相互作用時，會發(fā)現(xiàn) 起著動量的作用，被稱作電子的“準(zhǔn)動量”或“晶體動量”。它的運動具有類似行進平面波的形式。但 實際上晶體中的電子既不是完全自由的，也不是完全被束縛在某個原子周圍 ，因此，其波函數(shù)就具有 的形式。 由于晶體中電子的運動介于自由電子與孤立原子之間，既有共有化運動也有原子內(nèi)運動，因此，電子的能量取值就表現(xiàn)為由能量的允帶和禁帶相間組成的能帶結(jié)構(gòu)。但 如果只是為了更好地進一步理解周 期性勢場對電子運動的影響，我們最好是選擇使用經(jīng)過簡化的 勢，用最少量的數(shù)學(xué)過程來求解 Schr246。 2. 緊束縛模型（ The TightBinding Model） 該模型假定原子勢很強，晶體電子基本上是圍繞著一個固定原子運動，與相鄰原子存在的很弱的相互作用可以當(dāng)作微擾處理，所得結(jié)果可以作為固體中狹窄的內(nèi)殼層能帶的粗略近似，例如，過渡金屬的 3d能帶。 一、何謂近自由電子近似（ Nearly Free Electron ） 在周期場中 ， 若電子的勢能隨位置的變化 （ 起伏 ） 比較 小 ， 而電子的平均動能要比其勢能的絕對值大得多時 ， 電子 的運動就幾乎是自由的 。 一. 何謂近自由電子近似 二. 定性描述 三. 微擾計算 見黃昆書 p157 一維周期場中電子運動的近自由電子近似 晶體中的電子感受到的一維晶格周期勢場 見于 Omar 書 p197 見于 Kittel 書 p118 二 . 近自由電子（ NFE）模型的定性描述 在 NFE 模型中，是以勢場嚴(yán)格為零的 Schr246。 2hG a??空格模型的能量波矢關(guān)系： 自由電子的 k 取值范圍是沒有限制的，能量取值范圍也是無限制的。（實際上， 晶體勢的作用是使空格子模型中能帶結(jié)構(gòu)中的尖角變得平滑了 。 弱周期勢場對能帶的影響： 以上參照 Omar一書整理 空格模型的能量波矢關(guān)系： Blakemore書p208209也有類似敘述。dinger方程中，得 ( 0 ) ( 0 ) ( 0 )0 k k kHE???( 1 ) ( 0 ) ( 0 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 0 )0 k k k k k kH H E E? ? ? ??? ? ?( 2 ) ( 1 ) ( 0 ) ( 2 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 2 ) ( 0 )0 k k k k k k k kH H E E E? ? ? ? ??? ? ? ?零級近似 方程： ( 0 ) ( 0 ) ( 0 )0 k k kHE???能量本征值 ： 2 2 2 2( 0 )022kkkEUmm? ? ?0 0U ?令相應(yīng)的波函數(shù)： (0) 1 ikxk eL? ?正交歸一性： ( 0 ) ( 0 )0Lk k k kdx k k? ? ???? ????一級微擾方程： ( 1 ) ( 0 ) ( 0 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 0 )0 k k k k k kH H E E? ? ? ??? ? ?令 ( 1 ) ( 1 ) ( 0 )k a??? ?代入上式 ( 1 ) ( 0 ) ( 0 ) ( 0 ) ( 0 ) ( 1 ) ( 0 ) ( 1 ) ( 0 )k k k ka E H E a E? ? ? ??? ? ???兩邊同左乘 并積分得 (0)k? ??( 1 ) ( 0 ) ( 0 ) ( 1 ) ( 1 )k k k k k k k k ka E H E a E ?? ? ? ? ??? ? ?當(dāng) k’ = k 時， (1) ( 0 ) ( 0 )0Lk k k k kE H H dx k H k???? ? ?? ? ??( 1 )0 012 e x p 0L i k x i k xknnnxE e U i e d xLa????? ???????? ??????當(dāng) k’ ? k 時， ( 1 )( 0 ) ( 0 )kkkkkHaEE??????由于 一級微擾能量 Ek(1)＝ 0， 所以還需用二級微擾方程來 求出二級微擾能量，方法同上。kkk kkE k U kk U kEEE??????? ?1 00039?？梢姡?將勢能隨位置變化的部分當(dāng)作微擾而求出的近似波函數(shù)的確滿足 Bloch定理 。 但是，如果由相鄰原子所產(chǎn)生的散射波（即反射波）成分有相同的位相，如行進平面波的波長 ?＝ 2?/?k?正好滿足條件 2a＝ n ?時，相鄰兩原子的反射波就會有相同的位相，它們將相互加強，從而使行進的平面波受到很大干涉。 22 2 2 222knkm m a?????????? ?222 2nk k n k Ga???? ? ? ? ?????這正是布里淵區(qū)邊界方程。實際上，在 k和 k’接近布里淵區(qū)邊界時，即 ? ?? ?11nkanka??? ? ? ?? ? ? ?1? ??{ 時，散射波已經(jīng)相當(dāng)強了，因此，零級近似的波函數(shù)也必須寫成 ( 0 ) ( 0 ) ( 0 ) 11 i k x i k xkkA B A e B eLL????? ? ? ? ? ? ?代入 Schr246。 (2) ( 0 ) ( 0 )k k nE E U? ? ? ?這表示 k 和 k’很接近布里淵區(qū)邊界的情況，將 E177。 E?對于 ? 0， k 態(tài)的能量比 k’ 態(tài)高，微擾的結(jié)果使 k態(tài)的能量升高，而 k’態(tài)的能量降低