《能帶理論一》ppt課件-文庫(kù)吧
2025-02-06 15:43 本頁(yè)面
【正文】 態(tài)的一般特征 ，這對(duì)于理解晶體中的電子，求解具體問(wèn)題有著指導(dǎo)意義。 黃昆 書(shū) p154157 一. Bloch 定理 二. 關(guān)于 k 取值和意義的幾點(diǎn)討論： 三 . Bloch函數(shù)的性質(zhì) 周期場(chǎng)中單電子狀態(tài)的一般特征 一 . Bloch定理 考慮一理想完整晶體，所有的原子實(shí)都周期性地靜止排列在其平衡位置上， 每一個(gè)電子都處在除其自身外其他電子的平均勢(shì)場(chǎng)和原子實(shí)的勢(shì)場(chǎng)中運(yùn)動(dòng) 。按照周期場(chǎng)近似，電子所感受到的勢(shì)場(chǎng)具有周期性。這樣的模型稱(chēng)為 周期場(chǎng)模型 。 當(dāng)我開(kāi)始思考這個(gè)問(wèn)題時(shí)，感覺(jué)到問(wèn)題的關(guān)鍵是解釋電子將如何“偷偷地潛行”于金屬中的所有離子之間。 ……. 經(jīng)過(guò)簡(jiǎn)明而直觀(guān)的傅立葉分析，令我高興地發(fā)現(xiàn)，這種不同于自由電子平面波的波僅僅借助于一種 周期性調(diào)制 就可以獲得。 —— F Bloch 在周期場(chǎng)中，描述電子運(yùn)動(dòng)的 Schr246。dinger方程為 ? ? ? ? ? ?222 U r r E rm ????? ? ? ?????其中， U(r) = U(r +Rl)為周期性勢(shì)場(chǎng)， Rl=l1a1+l2a2+l3a3為格矢， 方程的解應(yīng)具有下列形式： ? ? ? ?ieu? ??kk krrr —— Bloch函數(shù) 這里， uk(r) = uk(r +Rl) 是以格矢 Rl 為周期的周期函數(shù)。 這個(gè)結(jié)果稱(chēng)為 Bloch定理。 它確定了波動(dòng)方程解的基本特點(diǎn) 。 （ Bloch wave function） 換句話(huà)說(shuō)： Bloch 發(fā)現(xiàn)，不管周期勢(shì)場(chǎng)的具體函數(shù)形式如何， 在周期勢(shì)場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的單電子的波函數(shù)不再是平面波，而是 調(diào)幅平面波 ，其振幅也不再是常數(shù)，而是 按晶體的周期而 周期變化 。 ? ? ? ?ieu? ??kkkrrr這種形式的波函數(shù) 叫 Bloch波函數(shù)，或說(shuō) Bloch 波。它描述的電子叫 Bloch電子 這個(gè)結(jié)論是 Bloch 定理。 Bloch 定理也可表述為： ? ? ? ? ? ?ni k Rnkkr R e r?? ??? 它表明在不同原胞的對(duì)應(yīng)點(diǎn)上，波函數(shù)只相差一個(gè)相位因子 ，它不影響波函數(shù)的大小，所以 電子出現(xiàn)在不同原胞的 對(duì)應(yīng)點(diǎn)上幾率是相同的。這是晶體周期性的反映。 ? ?ni k Re ?Bloch 定理： 周期勢(shì)場(chǎng)中的電子波函數(shù)必定是按晶格周期函數(shù)調(diào)幅的平面波。 Bloch 定理的物理證明（ 定性說(shuō)明 ）： 周期勢(shì)場(chǎng)中的 波函數(shù) 也應(yīng) 具有周期性 是無(wú)疑的，因此方程 的解可以表示為： 其中 勢(shì)場(chǎng)的周期性也使與電子相關(guān)的所有可測(cè)量，包括電子幾率 也必定是周期性的，這就給未知函數(shù) 附加了下述 條件： ( ) ( ) ( )kkr f r u r? ?2()r? ()fr22( ) ( )nf r R f r??對(duì)于所有 都滿(mǎn)足此條件的函數(shù)只能是指數(shù)形式： 因此運(yùn)動(dòng)方程的解具有 Bloch 形式： nRik re ?( ) ( )k n ku r R u r??? ? ? ?ieu? ??kk krrr見(jiàn)馮端：凝聚態(tài)物理學(xué)（上） p141 詳細(xì)證明 ：（ 根據(jù)黃昆書(shū) p154） 由于勢(shì)場(chǎng)的周期性反映了晶格的平移對(duì)稱(chēng)性，可定義 一個(gè)平移 對(duì)稱(chēng)操作 算符 T?，使得對(duì)于 任意函數(shù) f (r) 有 ? ? ? ?T f f????r r a這里， a?， ?＝ 1, 2, 3是晶格的三個(gè)基矢。 顯然，它們是 互易 的： ? ? ? ? ? ?T T f T f f? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?r r a r a a? ?T T f??? rT?T?－ T? T? = 0， 晶體中單電子運(yùn)動(dòng)的哈密頓量應(yīng)具有晶格周期性： ? ? ? ? ? ?222T H f T U fm????? ? ? ????? rr r r? ? ? ?? ? ? ?222222UfmUfm? ??????? ? ? ? ? ???????? ? ? ? ?????rarr a r ar r a? ? ? ? ? ?222 U T f H T fm ????? ? ? ? ????? r r r r即： 平移算符和晶體中電子的哈密頓量是互易的 。 即： T? H－ H T? ＝ 0 根據(jù)量子力學(xué)可知， 可 對(duì)易的算符 T?和 H 有共同本征態(tài) 。 設(shè) ?(r)為其共同本征態(tài)，有 ? ? ? ?? ? ? ? ? ?HET ? ? ???? ? ? ????rrr r + a r{ ?＝ 1, 2, 3 其中 ??是平移算符 T ?的本征值。為了確定平移算符的本征值，引入周期性邊界條件。 設(shè)晶體為一平行六面體，其棱邊沿三個(gè)基矢方向， N1， N2和 N3分別是沿 a1， a2和 a3方向的原胞數(shù)，即晶體的總原胞數(shù)為 N＝ N1N2N3 。 （設(shè)為非簡(jiǎn)并） 周期性邊界條件： ? ? ? ?N???? ??r r a而 ? ? ? ? ? ? ? ?NNNT??? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ?r a r r r得 21N i he?? ??? ??h?＝整數(shù)， ?＝ 1, 2, 3 所以 2e x p hiN????? ??? ????引入矢量 3121 2 31 2 3hhhN N N? ? ?k b b b這里 b1， b2和 b3為倒格子基矢，于是有 ie ????? ka2? ? ? ?????ab? ? ? ?1 1 2 2 3 3??? ? ? ? ?r R r a a a? ? ? ?331 2 1 21 2 3 1 2 3T T T ? ? ? ? ??? rr? ? ? ?1 1 2 2 3 3e x p i ???? ? ? ???k a a a r? ? ? ?ie?? ??? kRr + R r定義一個(gè)新函數(shù)： ? ? ? ?iue ???? krkkrr? ? ? ? ? ?iue ?? ? ?? ? ?k r Rkkr R r R? ?iiie e e ?? ? ????? k R k Rkr k r? ? ? ?ieu?????kr kkrr這表明 uk(r) 是以格矢 Rl 為周期的周期函數(shù)。 證畢 。 二 . 關(guān)于 k 取值和意義的幾點(diǎn)討論： ? ? ? ?ieu? ?? krkkrr 波矢量 k 是對(duì)應(yīng)于平移算符本征值的量子數(shù)，其物理意義表示不同原胞之間電子波函數(shù)的 位相變化。 如 ? ? ? ? ? ?111 ie? ? ? ??? ? ? kar a r r ?1反映的是沿 a1方向，相鄰兩個(gè)原胞中周期對(duì)應(yīng)的兩點(diǎn)之間電子波函數(shù)的位相變化。不同的波矢量 k 表示原胞間的位相差不同，即描述晶體中電子不同的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。但是，如果兩個(gè)波矢量 k 和 k’ 相差一個(gè)倒格矢 Gn，可以證明，這兩個(gè)波矢所對(duì)應(yīng)的 平移算符本征值相同 。 ? ? ? ?ieu? ??? krkkrr對(duì)于 k： ie ??? ?? ka對(duì)于 k’＝ k+Gn： 39。 ni i i ie e e e? ? ? ??????? ? ? ?? ? ? ?k a k a G a k a?＝ 1, 2, 3 這表明，這兩個(gè)波矢量 k 和 k’＝ k＋ Gn所描述的電子
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