【正文】 積分 ? ????Z Za ZdZmGZdZ? ??0 2 得 令 代入上式： O Z m f 太陽(yáng)中心 圖 [例 2] 兩個(gè)小環(huán)套在一懸掛著的大環(huán)上沿大環(huán)滑動(dòng) 解：大環(huán)和小環(huán)各受哪些力作用？ 如圖 ，大環(huán)在豎直方向所受的合力為 F=T2Ncosθmˊg (1) 2c o s ?? ?mRNmg ?? （ 2） ?? ??mRmg ?s in （ 3） 小環(huán)沿大環(huán)運(yùn)動(dòng)的微分方程為 由（ 3）式，有 ???? dgdR s in??? 積分上式得 )c os1(s i n21 02 ???? ? ??? ? gdgR ? （ 4） （ 4）式代入（ 2）式可得 )2c os3()c os1(2c osc os 2????????????mgmgmgmRmgN ? （ 5） （ 5）式代入（ 1）式： gmmgTF ????? ?? c o s)2c o s3(2 （ 6） 當(dāng)合力 F≥0時(shí)大環(huán)上升，這時(shí) T=0，于是（ 6）式化為 0c os4c os660c os4c os622?????????mmmmmm????)2311(31c os mm ????? 上式成立的條件為 mmmm ????? 23,0231 即，因此： ① 大環(huán)可上升的條件為 mm ?? 23 ② 大環(huán)開(kāi)始上升時(shí)小環(huán)所處的位置為 )]2311(31c os [0 mmar c ????? [例 3]質(zhì)點(diǎn)沿?cái)[線 ?s in4 RS ? 運(yùn)動(dòng) 解 :半徑為 R的圓周沿 x軸純滾動(dòng)時(shí) ,圓周上一點(diǎn) P(x,y)的軌跡即為擺線 .本題給 出擺線方程 ,求質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的加速度的大小 . 擺線方程通常表成直角坐標(biāo)形式 .如圖 : O R C Y D R C E P M 圖 X jRiRjRiRjRiRjRiRCMPCiRPMOPr??????????)c o s1()s i n()c o s1()s i n(c o ss i n???????????????????????????????????)c os1()s i n(???RyRx (1) 上式為 M點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程 (直角坐標(biāo)形式 ),稱為擺線 (式旋輪線 )參數(shù)方程 . ????????dRdRdRdRdydxdS2s i n2c o s1(2)s i n(])c o s1([)()( 2222????????積分得 )2c os1(4)( ?? ?? RS (2) ? ?????? ???? 232,223設(shè) x軸正向與軌道切線正向之間的夾角為 ,由圖 : 則 (2)式為 )s i n1(4)]23c o s (1[4)(?????????RRS將弧坐標(biāo)原點(diǎn)移至 4R處 ,上式為 ?? s in4)( RS ? (3) (3)式為以弧長(zhǎng)為變量的擺線方程 (軌跡方程 ) ???????s in24c o s4????RaRS??????? ???? c os4c os4 Rd dRddS ?????????? c os4c os4 )c os4( 222 ?? RRRa n ???nnn eReReaeaa ??????? ????? ??? c o s4s i n 22 ??????222 4 ?? ?Raaa n ??? 可見(jiàn) :切向加速度和法向加速度隨質(zhì)點(diǎn)的位置改變變化 ,但總的加速度的大小是常量 ． [例 4] 變質(zhì)量方塊串的運(yùn)動(dòng)。 ，磁感應(yīng)強(qiáng)度為 E?B? 求電荷量為 q，質(zhì)量為 m的帶電粒子在電場(chǎng)強(qiáng)度為 解：（ 1）帶電粒子在均勻恒定磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng) ① 運(yùn)動(dòng)方程 Btrqtrm ?????? ?? )()( （ 1） B? BkB??設(shè) 沿 Z軸正向： ,則 )( Brmqr ?????? ?? （ 2） 粒子受什么力作用？ ② 速度 用 k? 標(biāo)乘（ 2）式： 0)()(. ????? tZBrmqkrk ??????????常量?Z? （ 3） 即沿 Z軸方向（ B? 方向）的速度分量不變（為何不變？） ③ 動(dòng)能 將 r?? 點(diǎn)乘（ 1）式： 0)( ????? Btrrqrrm ?????????? 0)21( 2 ?rmdtd ?? 或 常量?? 221 rmT ?? （ 4） 即粒子的動(dòng)能守恒（何故？） 方程（ 2）的分量式為 )( jxiymgBkzjyix ????????????? ???????????????0)()()()()(tztxtytytx???????? （ 5） 式中 mqB?? （ 6） 稱為粒子的回旋頻率，是等粒子體物理學(xué)中一個(gè)重要的特征量。將（ 11）式中的第一、二兩式 對(duì) t再求導(dǎo)一次，然后連續(xù)積分兩次，可得 ???????????????)s i n ()()c o s ()(????ttyBEttx?? （ 13） 是由粒子初始條件確定的常數(shù)。太陽(yáng)也是由等離子體組成的，不斷從太陽(yáng)吹向地球的所謂 “ 太陽(yáng)風(fēng) ” ，實(shí)際上就是帶電粒子流，這些帶電粒子受到地磁場(chǎng)的作用時(shí)，形成豐富的物理現(xiàn)象。 這是逆問(wèn)題 。 ?mkR ??O h mg m 圖 xmkmgxm ??? ??? （ 1） 請(qǐng)思考：方程中重力 mg和阻力 xmk? 為何都是 “ ”的？ ),( xkgdtxdx ???? ???? 所以 因 質(zhì)量為 m的質(zhì)點(diǎn)無(wú)初速度地自離地面為 h處豎直 下落，空氣阻力大小與速度一次方成正比，即 R=mkv， k為可用實(shí)驗(yàn)方法測(cè)定的常數(shù)。 ?kR ??2?kR ??，在速度不大的情況下，阻力的大小與 接近彈速范圍內(nèi)， 阻力大小與速度的二次方成正比： 接近聲速時(shí)，一般 R與 v的關(guān)系不能用簡(jiǎn)單的函數(shù)關(guān)系表示。 。已知質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)軌 跡，故采用自然坐標(biāo)法較簡(jiǎn)便。由參數(shù)方程，有 為此，設(shè)法消去 ???? dRdydRdx s i n,)c o s1( ????????dRdRRdydxds2c o s2s i n)c o s1( 222222?????? 設(shè) t=0時(shí)， 0,0,0000 ?????? ????ss，積分上式，得 2s i n42c os20???? RdRs ?? ?Rs42s i n ??? ③ 將③式代入①式 sRgs 4????02 ?? ss ??? ④ ③ 式為質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)微分方程，式中 Rg42 ??為圓頻率，則周期 gRT 422 ??? ?? [例 5] 質(zhì)量為 m的小珠串在一光滑的鐵絲上，鐵絲在豎直平面內(nèi)且其 形狀為拋物線： pxy 2? .初始時(shí)小珠的 高度 y=h，初速為零 . 求小珠下滑時(shí) 所受的約束力。因?yàn)榧s束力只在微分方程的法向分量中出現(xiàn)，這樣約束質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律和約束力可以分別在微分方程切向分量和法向分量中進(jìn)行計(jì)算。 的一般形式。由于這些書(shū)中未說(shuō)明，使初學(xué)者難以掌握。選取以指向 O1M曲率中心方向?yàn)榉ㄏ颍?n）正 ? ?向。 ，則在計(jì)算中不必考慮 2）對(duì)于平面光滑曲線軌道，切線方向和切線角 θ均連續(xù)變化。規(guī)定起始點(diǎn) A 為弧坐標(biāo) s原點(diǎn)，沿極角 增加方向 ?為 s正向。根據(jù)動(dòng)量定理，有 增加方向?yàn)? ??????????????)2(c o s)1(s i n2????? ??mgTlmdtdmdtdpmgdtdmdtdpnn由（ 1）式 ???????? ? s i ngddldtddddtd ???????? dgld s in??初始條件為： t=0時(shí)， 0,0 ???? ??? A ，積分上式，得 )c o s1(2 0?? ?? glB(3) 將（ 3）式代入（ 2），并注意到 0?? ，可得 mgmgmgmglm g lmglmT)c o s23()c o s1(2)c o s1(2c o s0002??????????????? （ 2）用動(dòng)量矩定理和動(dòng)量定理理解 在切向應(yīng)用對(duì) O點(diǎn)的動(dòng)量矩定理和在法向應(yīng)用動(dòng)量定理，得 ????????????????c o s)(s i n)(mgTdtmdlmgdtlmdn將第一式積分可得 )c o s1(2 02 ?? ?? glBmgmglmT)c o s23(c o s02??????? （ 3）用動(dòng)能定理和動(dòng)量定理解 由第二式可求得 ?? ldmgdspdspdsTdW s i n??????????? dmmddT ?? )21( 2因 根據(jù)動(dòng)能定理： dTdW ? ，有 ???? dm g ldm s i n??)c o s1(2 02 ?? ?? glB 積分可得 再在法向應(yīng)用動(dòng)量定理可求出 T. （ 4）用機(jī)械能守恒定律及動(dòng)量定理解 因重力 mg是保守力，張力 T與 v垂直不作功，故機(jī)械能守恒，即 )c os1(2121 022 ??? ??? m glmm AB )c o s1(2 02 ?? ?? glB 再在法向應(yīng)用動(dòng)量定理可求出 T。 小球上升至最高點(diǎn)和下降至最低點(diǎn)之間的 高度范圍即是題目要求的運(yùn)動(dòng)范圍。將 代入上式，得 020220202121 gzgzzz ??? ?? 即 0)2)((02222002002022032020????????gzzzzzzgzzgzz?????01 zz ?)(048480204020302040202舍去???????ggzzggzz?????? 0z 2z 2z 0z討論： 小球的運(yùn)動(dòng)范圍在 與 之間， 的大小取決于 。通常根據(jù)題意可以選用動(dòng)量定理，也可用動(dòng)量定理或動(dòng)量矩定理中的兩個(gè)方程再加上一個(gè)動(dòng)能定理方程。