【文章內容簡介】 ? ???53422hyhyq說明式（ 36）在兩端不適用。 解題步驟小結： （ 1） （ 2） （ 3） 根據(jù)問題的條件：幾何特點、受力特點、約束特點（面力分布規(guī)律、對稱性等），估計 某個應力分量 （ ）的變化形式。 xyyx ??? ,由 與應力函數(shù) 的關系式（ 226），求得應力函數(shù) 的具體形式（具有待定函數(shù)）。 xyyx??? , ),( yx?),( yx?（ 4） （ 5） 將具有待定函數(shù)的應力函數(shù) 代入相容方程： 確定 中的待定函數(shù)形式。 ),( yx? 04 ?? ?),( yx?由 與應力函數(shù) 的關系式（ 226），求得應力分量 。 xyyx??? , ),( yx?xyyx ??? ,由邊界條件確定 中的待定常數(shù)。 xyyx ??? ,用半逆解法求解 梁、矩形長板 類彈性力學平面問題的 基本步驟 ： ?應力函數(shù)法求解平面問題的基本步驟： （ 1） 02 4422444?????? ???? yyxx ???(527) （ 2） xyyx ??? ,然后將 代入式（ 226）求出應力分量： ),( yx?先由方程（ 227）求出應力函數(shù)： ),( yx?Yyxy ???? 22??Xxyx ????22?? yxxy ????? ?? 2 (526) （ 3） 再讓 滿足應力邊界條件和位移單值條件（多連體問題）。 xyyx ??? ,? ?04 ?? ??求解方法： 逆解法 （ 1） 根據(jù)問題的條件 （幾何形狀、受力特點、邊界條件等）， 假設各種滿足相容方程（ 227）的 φ(x,y) 的形式； （ 2） 然后利用應力分量計算式（ 226），求出 （具有待定系數(shù)）； xyyx ??? ,（ 3） 再利用應力邊界條件式（ 218），來考察這些應力函數(shù) φ(x,y) 對應什么樣的邊界面力問題，從而得知所設應力函數(shù) φ(x,y) 可以求解什么問題。 —— 半逆解法的數(shù)學基礎： 數(shù)理方程中分離變量法 。 （ 1） 根據(jù)問題的條件 （幾何形狀、受力特點、邊界條件等）， 假設部分應力分量 的某種函數(shù)形式 ； xyyx ??? ,（ 2） 根據(jù) 與應力函數(shù) φ(x,y)的關系及 ，求出 φ(x,y) 的形式； xyyx ??? , 04 ?? ?（ 3） 最后利用式（ 226）計算出 并讓其滿足邊界條件和位移單值條件。 xyyx ??? ,半逆解法 ?位移分量求解： （ 1） 將已求得的應力分量 （ 2） （ 3） xyyx ??? ,代入物理方程，求得應變分量 xyyx ??? ,將應變分量 xyyx ??? ,代入幾何方程，并積分求得位移分量 表達式； 由位移邊界條件確定表達式中常數(shù)，得最終結果。 1. 應力函數(shù)的確定 (1) 分析： y?—— 主要由彎矩引起； x?—— 主要由剪力引起； xy?—— 由 q 引起（擠壓應力）。 又 ∵ q =常數(shù)，圖示坐標系和幾何對稱， ∴ 不隨 x 變化。 y?推得： )( yfy ??(2) 由應力分量表達式確定應力函數(shù) 的形式： ),( yx?)(22yfxy ???? ?? 積分得： )()( 1 yfyxfx ???? ?)()()(2 212yfyxfyfx ????(a) (b) )(),(),( 21 yfyfyf —— 任意的待定函數(shù) 簡支梁受均布載荷 x y l l ql ql 1 y z h/2 h/2 q )()(2 23232GyFyEyxDCyByAyx ????????)610( 2345 KyHyyByA ?????(e) 44224444 2yyxx ??????????? ????0)(2)()()(2 )2()4(2)4(1)4(2????? yfyfyxfyfx0)()4( ?yf0)(2)( )2()4(2 ?? yfyf0)()4(1 ?yf x y l l ql ql 1 y z h/2 h/2 q 2. 應力分量的確定 22yx ??? ?? KHyByAyFEyxBAyx 2622)26()26(2232????????22xy ??? ??yxxy ????? ?? 2 )23()23( 22 GFyEyCByAyx ???????(f) (g) (h) DCyByAy ???? 233. 由邊界條件確定待定常數(shù) x y l l ql ql 1 y z h/2 h/2 q 附： 應力函數(shù)確定的“材料力學方法” 要點： 利用材料力學中應力與梁內力的關系，假設某個應力分量的函數(shù)形式。 適用性： 直梁、長板條等受連續(xù)分布面力、桿端集中力、桿端集中力偶等。 應力函數(shù)?？杀硎緸椋? )()(),( ygxfyx ??設法由邊界面力先確定 其中之一，然后將其代入 確定另外一個函數(shù)。 )()( ygxf 或04 ?? ?材力中，應力分量與梁內力的關系為： )()( 2 yfxQxy ??)()( 1 yfxMx ??式中： M(x) —— 彎矩方程； Q(x) —— 剪力方程。 當有橫向分布力 q(x)作用時，縱向纖維間存在擠壓應力 ， y?同時，橫向分布力 q(x)的擠壓作用時，對軸向應力 也產生影響。 x?應力分量與梁內力的關系可表示為： )()()()( 21 yfxqyfxMx ???)()( 3 yfxqy ??)()( 4 yfxQxy ??考慮擠壓應力影響導致 然后由： xyxy ????? ?? 222xy ??? ??22yx ??? ??04 ?? ?確定應力函數(shù) 的具體形式。 ?例： 懸臂梁，厚度為單位 1， τ=常數(shù)。求：應力函數(shù) 及梁內應力。 ?x y O ?b l 解： (1) 應力函數(shù)的確定 ?x Q M 取任意截面，其內力如圖： bxQ ??)(0)()()( ?????? xlbbxlxM ??取 作為分析對象，可假設： xy?)()()( ybfyfxQxy ?? ?? （ a） —— f(y)為待定函數(shù) xy?由 與應力函數(shù) 的關系，有： ?)(2ybfyx ?? ????? （ b） 對 x 積分一次，有： 對 y 再積分一次，有： )()()( 321 xfyfyb x f ???? ??)()( 0 yfyb x fy ????? ??其中： ?? dyyfyf )()( 02?? dyyfyf )()(1（ c） x y O ?b l ?x Q M )()()( 321 xfyfyb x f ???? ?? （ c） 04 ?? ?由 確定待定函數(shù)： 02 4422444?????? ???? yyxx ???0)()()( )4(3)4(2)4(1 ???? xfyfyb x f? （ d） 要使上式對任意的 x， y成立，有 0)()( )4(3)4(2 ?? xfyf0)()4(1 ?yf （ e） （ f） 由式（ e）求得 CyByAyyf ??? 231 )( （ g） 由式（ f）得 ???)()4(3 xf??)()4(2 yf （ h） （ i） 積分式（ h）和（ i）得 2232423 )( xCxBxAxf ???2131412 )( yCyByAyf ???（ j） （ k） x y O ?b l ?x Q M )( 223242 xCxBxA ???)( 23 CyByAybx ???? ??)( 213141 yCyByA ???( l ) 包含 9個待定常數(shù)，由邊界條件確定。 (2) 應力分量的確定 1121222612)26( CyByABAybxyx ????????? ???)23( 22CByAybyxxy ???????? ???2222222612 CxBxAxy ?????? ?? ( m ) (3) 利用邊界條件確定常數(shù) x y O ?b l ?x Q M 1121222612)26( CyByABAybxyx ????????? ???)23( 22CByAybyxxy ???????? ???2222222612 CxBxAxy ?????? ??(3) 利用邊界條件確定常數(shù) ? ? ? ? ??? ?? ????22,0 byxybyy? ? ? ? ??? ??? ?? lxxylxx ,0? ? ? ? ??? ??? ??22,0 byxybyy( o ) 代入可確定常數(shù)為： 0222 ??? CBA0111 ????? CBABAbC1??代入式（ m）得 x y O ?b l ?x Q M ?? ??xy0?x?0?y?xy?? ?注： 也可利用 M（ x） = 0，考慮 0)()( ?? yfxMx?進行分析。此時有： 022???? yx ??)(1 xfy ????)()( 21 xfxyf ???)(),( 21 xfxf 為待定函數(shù)，由相容方程確定。 l l ql ql 1 y z h/2 h/2 q qxxQ ??)(剪力： 可假設剪應力： )( yq x fxy ???)( yxfy??0?y? )( yfy??167。 64 楔形體受重力和液體壓力 要點 —— 半逆解法 （因次或量綱分析法） ?g?g?x y O 問題的提法： 楔形體，下部可無限延伸。 側面受水壓作用： g? )m/N( 3 （水的容重）； 自重作用： g? )m/N(3 （楔形體的容重）； 求：楔形體應力分布規(guī)律 。 xyyx ??? ,1. 應力函數(shù)及應力分量 (1) 分析： (a) ,g? g?,??x?∵ 的量綱為： ,g? g? )m/N( 3∴ 的形式應為： x? gygxgygx ???? ,的線性組合。 x? 的量綱為： 2N/m(b) 由 推理得： 22yx ??? ??? 應為 x、 y 的三次函數(shù)。 應力函數(shù)可假設為： 3223 eyc x yybxax ??????g?g?gy?x y O (2) 應力分量 3223 eyc x yybxax ?????考慮到： X = 0， Y = （常體力） g?cybx 22 ???Xxyx ???? 22?? eycx 62 ??Yyxy ???? 22??yxxy ????? ?? 2gybyax ???? 26(a) 顯然，上述應力函數(shù)滿足相容方程。 2. 邊界條件的利用 (1) x=0 （應力邊界）： ? ? gyxx ?? ??? 0? ? 00 ??xxy?gyey ???602 ??