【文章內(nèi)容簡介】 1 22 . ( , , , ) ( , , , ), , , , , ,ststLL? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?????? 與 等價；1 2 1 21 2 1 23 . , , , ( , , , )d i m ( , , , ) ( , , , ) .ssssLLr? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ??? ?的極大無關(guān)組是 的基，故，68 例 12 .),()2,1,0,2(),1,1,1,1(),2,1,3,2(),1,1,2,1(,432143214的一組基及其維數(shù)求已知中在????????LWF?????69 例 13 求 , , ,A B C D 在所得基下的坐標(biāo)。 .),(1111,1111,2112,1221,22的一組基求中在DCBALWDCBAF????????????????????????????????????????問題：為什么 1 1 1 2 2 1 2 2, , ,E E E E 不是 W 的基？ 70 例 14 .,|22 的一組基中子空間求?????? ????????????? FyxxyyxWF71 例 15 ? ?222210,:21|,.AW X F A X X AFW????? ????????? ? ? ?設(shè) 證明是 的子空間并求 的一組基72 定理 2 222 1 1 1,.1 2 1 1,.ABA B F ?? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ?????????例：已知將 擴(kuò)充成 的一組基.VV有限維線性空間 的子空間的基均可擴(kuò)充成 的一組基73 子空間的交與和 .21 V，VV ?假設(shè)? ?? ?212211212121||:??????????????????????使得且定義V，VVVVVVVVV74 子空間的交與和 1 2 1 2:.3 V V V V V??? ? ?， 都是定 的子空間理75 注：交與并的區(qū)別 則若命題 ，LVLV ts ),(),(: 212211 ?????? ?? ??),,( 212121 tsLVV ?????? ????76 定理 4（維數(shù)定理） 121 2 1 2 1 2,d i m ( ) d i m d i m d i mV V VV V V V V V?? ? ? ? ?假設(shè) 有77 例 16 .,|,|2121212122的及維數(shù)及求子空間設(shè)VVVVVVFyxxyyxVFyxyyxxVF?????????????????????????????????????78 例 17 12121 1 2 2 1 241 2 1 2( 1 , 2 , 1 , 0 ) , ( 1 , 1 , 1 , 1 ) ,( 2 , 1 , 0 , 1 ) , ( 1 , 1 , 3 , 7 )( , ) , ( , ),.V L V LF V V V V????? ? ? ?? ? ??? ?? ? ? ? ??? ?? ? ???設(shè)。求 的子空間 的基及維數(shù)79 例 18 ? ? ? ?.|,|22121121,44132211111121214241的基及維數(shù)，求已知VVVVBxFxVAxFxVBA???????????????????????????????80 直和 1 2 1 21 1 2 2 1 21 2 1 2. , .,.V V V V VVVV V V V?? ? ? ? ??? ? ? ? ??????????? ? ? ? ? ?????????? ? ?? ?定義 設(shè) 若 ，惟一的 使得 ，則稱 是 記為 直和 。81 定理 5 :, 21 則下述條件是等價的設(shè) VVV ?。.1 21 直和VV ?。.2 的表示方式是唯一的?? ?。.3 21 ??? VV。d i md i m)d i m (.4 2121 VVVV ???.,.5 2121 的基的基合在一起就是將 VVVV ?82 例 19 ? ? ? ?1212| , |nnTTnnFV A A A V A A AF V V??? ? ? ? ?? ? ?已知 的子空間，證明： 。83 例 20 ? ? ? ?21212 , .| , |nnnnnA F A AV x F Ax V x F Ax xF V V????? ? ? ? ? ???設(shè)且，證明： 。84 多個子空間的直和 1 2 1 211 2 1 2. , , , ., 1 , 2 , , ,sssi i iissV V V V V V VV i sV V V V V V?? ? ??? ? ? ? ? ?????? ? ? ????? ? ? ? ? ? ??定義設(shè) 若 ，惟一的 使得 ，則稱是 ，記為直和 。85 定理 6 。.2 的表示方式是唯一的?? ?。.3 ??? ?? jiij VV?????siisii VV11d imd .,.5 2121 的基的基合在一起就是將 ss VVVVVV ??? ??。.1 21 直和sVVV ??? ?:, 21 則下述條件是等價的設(shè) VVVV s ??86 問題： 1. 當(dāng)? ?12 sV V V ?? ? ? ?時，是否 12 sV V V? ? ?是直和？ 2. 當(dāng)? ?ijV V i j?? ? ? ?, 時，是否 12 sV V V? ? ?是直和？ 87 第四節(jié) 線性映射 稱集合 S 到自身的映射 :f S S? 為 S 上的 變換 。 . : . , ( ) ,.f S T x S y f xy x f x y f? ? ? ??????????定義 設(shè)有映射 若 則稱 為的 在 下的 ，稱 為 在 下的 像 原像稱集合 S 到自身的映射 :I S Sxx? 為 S 上的 恒等 變換 。 88 . : .( ) , 。 ( ) ( ) , 。,.f S Tf S T ff a f b a b fff?? ??????????? ??????????? ? ??????????? ??定義 假設(shè)映射若 則稱 是若由 必能推得 則稱 是若滿射單射既是滿射又是單射 則 是 雙射稱::( : , ) .7STf S Tf g T Sgf I f g I????????????? ? ??????????????????? ? ?定理 是雙射是可逆映射 存在映射使得89 定義： ,.::1. , , ( ) ( ) 。2. , , ( ) ( ) ( ) ..V U Ff V Ux V k F f k x k f xx y V f x y f x f yf V U???? ????? ? ? ? ????? ? ? ? ? ?設(shè) 均是數(shù)域 上的線性空間若映射 滿足條件則稱 是 到 的 線性映射從).,( UVH omUV 的線性映射全體記為到從VV到自身的線性映射稱為 上的 線性變換 。90 例 21 1 . , :, ( ) .s n n snA F f F Fx F f x A x??????? ? ?假設(shè) 映射 定義為2 . : [ ] [ ] :( ) [ ] , ( ( ) ) 39。( ) .nnnf F x F xp x F x f p x p x???? ? ?映射 定義為91 例 22 3 . , : :, ( ) .n n n n n nnnA F f F FX F f X X A? ? ????? ? ?假設(shè) 映射 定義為4 ． : / ( , , ) /2 xf R R R Rx??? 92 例 23 性變換：考慮下列變換是否為線是一給定向量。上的線性空間，是數(shù)域假設(shè) VFV ?0 ?.0)(,.1 ???? xfVx.0)(,.2 ????? xxfVx93 注 換：下述變換肯定是線性變。)(,: ????? xOVxVVO.)(,: xxIVxVVI ????94 線性映射的性質(zhì)： 。)(.1:?? ??fUVf 是線性映射。則：假設(shè)1 2 1 2112 . , , , , , ,( ) ( ) 。ssssi i i iiiV k k k Ff k k f? ? ??????????? ???若則12123 . , ,( ) , ( ) , ( ) 。ssVf f f U? ? ?? ? ???? ?若 線性相關(guān)，則 線性相關(guān)95 12124 . ( , , ) ,( ) ( ( ) , ( ) , ( ) ) 。ssV L fR f L f f f? ? ?? ? ???? ?若 則 的值域? ?5 . ( ) | ( ) K f x V f x Vf?? ? ? 是 的子空間， 稱為 的核子空間。96 例 24 定義為：其中：和維數(shù)：的值域及核子空間的基求線性映射][][: 33 xFxFff?)(39。))(( xpxpf ?97 例 25 .:( ) ,snnsnA F ff F Ff x A x x F???? ? ?設(shè) 求線性映射 的值域及核子空間的基和維數(shù)，其中： 定義為：) . )(),(( AKARf 記為的值域及核子空間分別98 線性變換的運(yùn)算 : ( ) ( ) ( )k f V U k f x k f x?? 39。 : ( 39。 ) ( ) ( ) 39。 ( )f f V U f f x f x f x? ? ? ? ? , 39。 ( , ) , ( , ) , ,39。f f H o m V U g H o m U W k Fk f f f g f? ? ?? ? ? ?? ???假 設(shè)定 義 如 下 ：: ( ) ( ) ( ( ) )g f V W g f x g f x?? 它們都是線性映射。 99 線性變換的運(yùn)算的性質(zhì)： 則：假設(shè) ).,(, VVH o mhgf ?)。().(1 ghfhfg ?。)(.2 fhfghgf ???3 . ( ) .f g h fh g h? ? ?100 線性映射（變換）的矩陣： 選定基偶：設(shè) ).,( UVH o mf ?。,: 21 sV ??? ? nU ??? ,: 21 ?Afff ns ),())(,),(),(( 2121 ?????? ?? ?若Af則稱 是 在選定 基偶下的矩陣 。且如 ,VU ?Afff ss ),())(,),(),(( 2121 ?????? ?? ?Af則稱 是線性變換 在所選 基下的矩陣 。101 例 26 1. 假設(shè) snAC ?? ， 定 義 : nsf F F? 為 ()f x A x? 。 2 ．定義33: [ ] [ ]f R x R x?為 ()( ( ) ) dxfxdx?? ? 。 102 例 27 2 2 2 22211 12 21 22( , )32( ) ,34., , , .f Hom F Fa b b cfXa b c a b c dabXFcdf E E E E????