有限差分方法基礎(chǔ)-研究生課程(編輯修改稿)
2025-05-26 12:08 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 斷誤差（ 5/6） (a) FTCS (b)FTFS (c)FTBS 圖 22 差分格式 25 第二節(jié) 差分方程、截斷誤差和相容性 /截斷誤差（ 6/6） FTCS格式的截斷誤差為 ))(,( 2xtOR ni ??? FTFS和 FTBS格式的截斷誤差為 ),( xtOR ni ???（ 212） （ 213） 3種格式對 t? 都有一階精度。 26 第二節(jié) 差分方程、截斷誤差和相容性 /相容性（ 1/3） 一般說來，若微分方程為 fD ?)(? 其中 D是微分算子， f是已知函數(shù)，而對應(yīng)的差分方程為 fD ?? )(?其中 ?D 是差分算子，則截斷誤差為 )()( ?? DDR ???這里 ? 為定義域上某一足夠光滑的函數(shù)，當(dāng)然也可以取微分方程的解 。 ?（ 214） （ 215） （ 216） 如果當(dāng) x?、 0??t 時，差分方程的截斷誤差的某種范數(shù) ||||R 也趨近于零，即 0||||lim00?????Rtx則表明從截斷誤差的角度來看，此差分方程是能用來逼近微分方程的，通常稱這樣的差分方程和相應(yīng)的微分方程相容（一致）。 如果當(dāng) x? 、 0??t 時，截斷誤差的范數(shù)不趨于零，則稱為不相容（不一致），這樣的差分方程不能用來逼近微分方程。 （ 217） 27 第二節(jié) 差分方程、截斷誤差和相容性 /相容性（ 2/3） 若微分問題的定解條件為 gB ?)(? 其中 B是微分算子， g是已知函數(shù)，而對應(yīng)的差分問題的定解條件為 gB ?? )(?其中 ?B 是差分算子，則截斷誤差為 )()( ?? BBr ?? ?（ 218） （ 219） （ 220） 28 第二節(jié) 差分方程、截斷誤差和相容性 /相容性（ 3/3） 只有方程相容，定解條件也相容，即 0||||lim00?????Rtx和 0||||lim00?????rtx 整個問題才相容。 （ 221） 無條件相容 條件相容 以上 3種格式都屬于一階精度、二層、相容、顯式格式。 29 第三節(jié) 收斂性與穩(wěn)定性 /收斂性（ 1/6） 所謂相容性，是指當(dāng)自變量的步長趨于零時，差分格式與微分問題的截斷誤差的范數(shù)是否趨于零，從而可看出是否能用此差分格式來逼近微分問題。然而，方程（無論是微分方程或是差分方程）是物理問題的數(shù)學(xué)表達(dá)形式，其目的是為了借助數(shù)學(xué)的手段來求問題的解。因此，除了必須要求差分格式能逼近微分方程和定解條件（表明這兩種數(shù)學(xué)表達(dá)方法在形式上是一致的）外，還進(jìn)一步要求差分格式的解（精確解）與微分方程定解問題的解（精確解）是一致的（表明這兩種數(shù)學(xué)表達(dá)方法的最終結(jié)果是一致的）。即當(dāng)步長趨于零時，要求差分格式的解趨于微分方程定解問題的解。我們稱這種是否趨于微分方程定解問題的解的情況為差分格式的收斂性。更明確地說，對差分網(wǎng)格上的任意結(jié)點(diǎn) ),( ni tx ，也是微分問題定解區(qū)域上的一固定點(diǎn)，設(shè)差分格式在此點(diǎn) ni?的解為 , 相應(yīng)的微分問題的解為 ),( ni tx? ，二者之差為 ),( ninini txe ?? ??稱為離散化誤差。如果當(dāng) x? 、 0??t 時，離散化誤差的某種范數(shù) ||||e 趨近于零，即 0||||lim00?????etx 則說明此差分格式是收斂的，即此差分格式的解收斂于相應(yīng)微分問題的解，否則不收斂。與相容性類似，收斂又 分為有條件收斂和無條件收斂。 （ 31） x? 、 （ 32） 30 第三節(jié) 收斂性與穩(wěn)定性 /收斂性（ 2/6） 31 第三節(jié) 收斂性與穩(wěn)定性 /收斂性（ 3/6） 相容性不一定能保證收斂性，那么對于一定的差分格式，其解能否收斂到相應(yīng)微分問題的解？答案是差分格式的解 收斂于微分問題的解是可能的。至于某給定格式是否收斂，則要按具體問題予以證明。下面以一個差分格式為例， 討論其收斂性： 微分問題 ????????????)()0,(,0xxxt????? 的 FTBS格式為 ??????????? ? ??)(,0011iininininixxt??????? 在某結(jié)點(diǎn)（ xi , tn）微分問題的解為 ),( ni tx? ，差分格式的解為 0i? ，則離散化誤差為 ),( ninini txe ?? ?? （ 36） （ 35） （ 34） 32 第三節(jié) 收斂性與穩(wěn)定性 /收斂性（ 4/6） 按照截斷誤差的分析知道 ）（ txOxtxxtxttxttx nininini????????????,),(),(),(),( ????? 以 FTBS格式中的第一個方程減去上式得 ）（ txOxeet ee nininini ??????? ? ?? ,11 ? 或?qū)懗? ）（ txOtextexttxOteexteenininininini?????????????????????????,)1(),()(111???1???xt? 若
環(huán)評公示相關(guān)推薦
鄂ICP備17016276號-1