【正文】 ????? ?????，求 A 的 UT 分解。 141 定理 2 121 2 1 2 1 2, , , , , ,ss s n s s s nW V WV? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?假 設(shè) 是 的 子 空 間 ， 是 的 標(biāo) 準(zhǔn) 正 交 基 ，則 存 在 使 得 是的 標(biāo) 準(zhǔn) 正 交 基 。142 第二節(jié) 正交補(bǔ)空間 , . .W V V W W? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?定 義 ： 設(shè) 若 ， ， 稱。，稱，對若 2121221121 , WWWWVWW ?????? ????12( , , , ) , . ,3.sjW L V W j? ? ? ? ? ? ???????? ? ? ? ? ? ?則定 ：設(shè)理143 正交補(bǔ)空間 記定義：設(shè) ,VW ?? ?WVW ???? ?? | VW易證這是 的子空間，稱 的 正交補(bǔ)空間是。,.4 W V V W W ?? ? ?：若 則定理, , .V W U W U U W ?? ? ? ?而 且 ， 若 且 則? ? ., WWVW ?? ??則推論：若144 正交補(bǔ)空間的計算 .:s n n sA C f C C???假 設(shè) 定 義 線 性 映 射 為 ：( ) , nf x Ax x C? ? ?？和問題：如何計算 ?? )()( AKARf 的值域和核空間分別記為 ( ) , ( )R A K A 。 145 正交補(bǔ)空間的計算 定理 5 ： ( ) ( )HR A K A? ? ， ( ) ( )HK A R A? ? 146 例 5 ? ?1 2 0 1 0 1 2 1 ,1 0 1 2|.AW x A xW?????????????????設(shè)求 的一標(biāo)準(zhǔn)正交基。147 一個幾何問題 空間中點到直線的距離： ?PQ148 空間中向量到子空間的距離： V?0?0???149 使得求已知 ,., WVVW ??? ??),(m i n),( ???? ? dd W??,.6 W V V???定 ：假設(shè)理 則),(m i n),( ???? ? dd W?? W??? ??W??（稱 是 在 中的 正投影 ）。150 例 6 中的正投影。在求假設(shè)中，已知在WLWR??????).,().2,1,2(),3,1,2(),1,2,1(21213??????151 例 7 假設(shè) 3 []V R x? 中的內(nèi)積 定義為 11( ) , ( ) ( ) ( )f x g x f x g x dx?? ?? ? 求2x? ?在( 1 , )W L x?中的 正 投影 。 152 應(yīng)用 Fourier系數(shù) 在線性空間[ , ]C ???上定義內(nèi)積( ) , ( ) ( ) ( )f x g x f x g x dx???? ?? ?。于是，[ , ]C ???成為歐氏空間。記子空間 ( 1 , c o s , sin , , c o s , sin )nW L x x n x n x? 求[ , ]()f x C ????在nW中的正投影。 153 最小二乘解 ,snA C A x b???設(shè) 求線性方程組 的最佳近似解。154 第三節(jié) 等距變換 ( , ) .V f H o m V V?定 義 ： 設(shè) 是 內(nèi) 積 空 間 ， 若,)(),( ?? ? ?? ???? ff V?? ?? ,f稱是 等距變換 。,。F R f?若 稱 是 正交變換 ,.F C f??若是 酉變換稱155 例 8 定義為：是酉矩陣。設(shè) nn CCfA ?:nCxAxxf ??? ,)(156 定理 7 ( , ) .1.2.3.4.V f H om V Vffff?設(shè) 是 內(nèi) 積 空 間 ， 下 述 條 件 等 價 ：（ ） 保 持 長 度 不 變 ；（ ） 保 持 內(nèi) 積 不 變 ；（ ） 將 標(biāo) 準(zhǔn) 正 交 基 變 為 標(biāo) 準(zhǔn) 正 交 基 ；（ ） 在 標(biāo) 準(zhǔn) 正 交 基 下 的 矩 陣 是 酉 矩 陣 。157 ?()f ??關(guān)于直線的反射 ()f???158 歐氏空間中的反射 假設(shè) V 是一個歐氏空間， V? ? 是一個單位向量。映射 :2,f V V? ? ? ? ??? ? ? ? 證明：f是 V 上的等距變換（正交變換） 159 鏡像變換 問題：假設(shè)在歐氏空間 V 中有兩個向量,??，是否有正交變換 f ，使得 f 將 ? 變到 ? 上？ 160 ????????11 ?? ? ? ? ????????????? ? ? ??????? ????161 例 9 假設(shè) V 是有限維歐氏空間， V? ? 是單位向量， V 上的變換f定義如下：對任意V? ?，( ) 2 ,f ? ? ? ? ?? ? ? ?。 1. 證明：f是 V 上的正交 變換。 2. 在3[]Rx中定義內(nèi)積： 對3( ) , ( ) [ ]x x R x?? ?，10( ), ( ) ( ) ( )x x x x d x? ? ? ?? ?? ?。于是，3[]Rx成為歐氏空間。分別求3[]Rx中向量 1? ? 及x? ?的長度，并求 正實數(shù)k 及 單位向量3[]Rx? ?，使得相應(yīng)的正交變換f將?變成k ?。 162 第三章 矩陣的相似標(biāo)準(zhǔn)形 163 矩陣與線性變換 本章的目的： ? 對給定的矩陣，找一最簡單的矩陣與之相似。 ? 對給定的線性空間上的線性變換，找線性空間的一組基，使得線性變換的矩陣最簡單。 164 第一節(jié) 特征值與特征向量 假設(shè) A 是 n 階方陣，0?是數(shù)，若存在 n 維列向量?，使得 ???， 且 0A ? ? ?? 則稱0?是 A 的 特征值 ， ?是 A 的屬于特征值0?的 特征向量 。 165 矩陣的相似對角化 假設(shè) A 是 n 階方陣， 則 A 相似于對角陣 的充分必要條件是 A 有 n 個線性無關(guān)的特征向量特征向量 。 166 線性變換的特征值、特征向量 設(shè) f 是線性空間 V 上的線性變換，假設(shè)0 F? ?，V????。若 0()f ? ? ?? 則稱0?是f的 特征值 ， ?是相應(yīng)于特征值0?的 特征向量 。 167 線性變換的可對角化問題 設(shè) V 是 n 維線性空間， f 是線性空間 V 上的線性變換， 則存在 V 的基使得 f 的矩陣 是 對角陣當(dāng)且僅當(dāng) f 有 n 個線性無關(guān)的 特征向量 。 168 例 1 ,),(),( 33 TzyxXCCH o mf ??? 定義為：?????????????zyxyxXf2)(的特征值、特征向量。求 f169 線性變換的特征值、特征向量的計算 設(shè)f在V的基12, , , n? ? ?下的矩陣是 A ，若0 F? ?，V? ?在基12, , , n? ? ?下的坐標(biāo)是0x，則()f ?在基12, , , n? ? ?下的坐標(biāo)是0Ax。故 0 0 0 0()f A x x? ? ? ?? ? ?， 即： ?是f的屬于特征值0?的特征向量 當(dāng)且僅當(dāng)0x是 A 的 屬于 特征值0?的特征向量 。 170 例 2 ,),( 222222 ??? ??? CXCCH o mf 定義為：XXf ???????????1111)(的特征值、特征向量。求 f171 定理 1 ., BIAICBA nn ???? ? ??是相似的，則若注： 定理的逆命題不成立；.1多項式。172 特征多項式的計算 定義：假設(shè)矩陣? ?ij nnAa ??，第121 ki i i n? ? ? ? ?行，則 A 的第12, , , ki i i行，第12, , , ki i i列交叉處的元素構(gòu)成的 k 階子式稱為 A 的一個 k 階主子式 。 173 主子式與子式 11 12 13 14 1521 22 23 24 2531 32 33 34 3541 42 43 44 4551 52 53 54 55a a a a aa a a a aa a a a aa a a a aa a a a a?????????? 2 1 2 2 2 43 1 3 2 3 45 1 5 2 5 4a a aa a aa a a 174 主子式與子式 11 12 13 14 1521 22 23 24 2531 32 33 34 3541 42 43 44 4551 52 53 54 55a a a a aa a a a aa a a a aa a a a aa a a a a?????????? 2 2 2 3 2 53 2 3 3 3 55 2 5 3 5 5a a aa a aa a a 175 特征多項式的計算 ? ? ,ij nnAa ??定 ：設(shè)理2 則nnnnn bbbbAI ??????? ??? ????? 12211 ???? 階主子式）的（其中， jAb jj )1(,11 ????niiiab特別地，.)1( Ab nn ??176 矩陣的跡 1( ()) , .ni j n n i iiA a a A t r A??? ?定 義 ： 設(shè) 稱 為 的 ， 記 為跡則的特征值為命題：若 ,)( 21 nnnijaA ??? ???,)(1???niiAtr ?.1 iniA ????.),()(, BABtrAtrBA ??相似，則推論：若177 例 3 的特征值。求設(shè) AAbbbaaaHnn.,2121???? ?????????????????????????????????178 化零多項式 ( ) ( ) ,( ) 0 .f x f A OA f x??設(shè) 是多項式。若則 的特征值均是 的根2 .01AAA?????????例：已知 證明：的特征值只能是 或 。179 第二節(jié) HamiltonCayley定理 , ( ) . ( ) .nnA F C I A C A O???? ? ? ?：則定理3 設(shè)( , ) , ( ) ( ) .f H o m V V C f C f O???：設(shè) 是 的特征多項式，則定理4是上三角矩陣。使得存在酉矩陣引理：對 AUUUCAS c h u r Hnn ,???180 例 4 ..5343 1000AA 求設(shè) ???????????32)( 2 ??? ???C181 例 5 1001 2 21 0 3112AA??????????????已知 ，求 。2)1)(1()( ??? ???C182 最小多項式 .AA????????????定 義 ： 矩 陣 的 次 數(shù) 最 低 的 、 最 高 次 項 系 數(shù) 為 一 的 化 零 多 項 式稱 為 的 最 小 多 項 式1 ( ) , ( )( ) | ( ) .m x x Am x x????????????????性 質(zhì) ： 若 分 別 是 矩 陣 的 最 小 多 項 式 、 化 零 多 項 式 ，則式是唯一的：任意矩陣的最小多項性質(zhì) 2有相同的最小多項式。相似，則：如果矩陣性質(zhì) BABA ,3小多項式）定義：（線性變換的最183 定理 5 0 0 0( ) , ( )( ) | ( ) , ( ) 0 ( ) 0m x C x Am x C x C m C? ? ?? ? ? ?設(shè) 分 別 是 矩 陣 的 最 小 多 項 式 和 特 征 多 項 式 ，則 ， 并 且 ， 對 。184 例 6 ?????