[信息與通信]第三章周期信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)表示(編輯修改稿)
2025-03-13 17:36 本頁面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 1T?0T0T?1T0T當(dāng) 時(shí)，有 ( ) ( )x t x t??0000220020012 ( ) ( ) c o sTT j k tTka x t e d t x t k t d tTT? ???????當(dāng) 時(shí)，有 ( ) ( )x t x t? ? ?0000220020012 ( ) ( ) s i nTT j k tTka x t e d t j x t k t d tTT? ???? ? ???表明： 奇信號(hào)的 是關(guān)于 的奇函數(shù)、虛函數(shù)。 ka k表明： 偶信號(hào)的 是關(guān)于 的偶函數(shù)、實(shí)函數(shù)。 ka k信號(hào)對(duì)稱性與頻譜的關(guān)系： 連續(xù)時(shí)間傅里葉級(jí)數(shù)的收斂 這一節(jié)來研究用傅氏級(jí)數(shù)表示周期信號(hào)的普遍性問題，即滿足什么條件的周期信號(hào)可以表示為傅里葉級(jí)數(shù)。 一 . 傅里葉級(jí)數(shù)是對(duì)信號(hào)的最佳近似 Convergence of the Fourier series 若 以 為周期 0() j k tkkx t a e ??? ??? ? 002T?? ?()xt0T用有限個(gè)諧波分量近似 時(shí)，有 ()xt0()Nj k tNkkNx t a e ???? ?誤差為 ( ) ( ) ( )NNe t x t x t?? 以均方誤差作為衡量誤差的準(zhǔn)則，其均方誤差為 2211( ) ( ) ( ) ( )N N NTTE t e t d t x t x t d tTT? ? ???00*1( ) ( )NNjk t jk tkkTk N k Nx t a e x t a e d tT ??? ? ? ?? ? ? ?? ? ?? ? ? ?? ? ? ????于是： 2 212) ( ) c o s ( )NNN k k k k kTk N k NE t x t d t A A BTT ??? ? ? ?? ? ? ????（結(jié)論：在均方誤差最小的準(zhǔn)則下，傅里葉級(jí)數(shù) 是對(duì)周期信號(hào)的最佳近似。 在均方誤差最小的準(zhǔn)則下，要使 EN(t)最小可以證明，此時(shí) 應(yīng)滿足： ka01 () jk tk Ta x t e d tT??? ?這就是傅氏級(jí)數(shù)的系數(shù) 其中 kjkka A e ??0( ) ,kj k t jkT x t e d t B e??? ?? 0() kj k t jkT x t e d t B e?? ?? ??二 . 傅里葉級(jí)數(shù)的收斂 傅里葉級(jí)數(shù)收斂的兩層含義 ： ① 是否存在 ? ② 級(jí)數(shù)是否收斂于 ? ()xtka 兩組條件： ： 如果 則 必存在。 在一個(gè)周期內(nèi)能量有限， 一定存在。 ka?2()T x t dt ??? ka()xtQ因此，信號(hào)絕對(duì)可積就保證了 的存在。 2. Dirichlet條件： ① ，在任何周期內(nèi)信號(hào)絕對(duì)可積。 ② 在任何有限區(qū)間內(nèi)，只有有限個(gè)極值點(diǎn)，且極值為有限值。 ③ 在任何有限區(qū)間內(nèi)，只有有限個(gè)第一類間斷點(diǎn)。 ()T x t dt ???011 ( ) ( )j k tk TTa x t e d t x t d tTT??? ? ? ???ka 這兩組條件并不完全等價(jià)。它們都是傅里葉級(jí)數(shù)收斂的 充分條件 。相當(dāng)廣泛的信號(hào)都能滿足這兩組條件中的一組，因而用傅里葉級(jí)數(shù)表示周期信號(hào)具有相當(dāng)?shù)钠毡檫m用性 。 幾個(gè)不滿足 Dirichlet條件的信號(hào) 三 .Gibbs現(xiàn)象 滿足 Dirichlet 條件 的信號(hào)，其傅里葉級(jí)數(shù)是如 何收斂于 的。特別當(dāng) 具有間斷點(diǎn)時(shí)，在間斷點(diǎn)附近，如何收斂于 ? ()xt ()xt()xt1N? 3N?7N ? 19N ?100N ? 用有限項(xiàng)傅里葉級(jí)數(shù)表示有間斷點(diǎn)的信號(hào)時(shí)，在間斷點(diǎn)附近不可避免的 會(huì) 出現(xiàn)振蕩和超量。超量的幅度不會(huì)隨所取項(xiàng)數(shù)的增加而減小。只是隨著項(xiàng)數(shù)的增多，振蕩頻率變高，并向間斷點(diǎn)處壓縮，從而使它所占有的能量減少 。 Gibbs現(xiàn)象表明： Properties of ContinuousTime Fourier Series 連續(xù)時(shí)間傅里葉級(jí)數(shù)（ CFS）的性質(zhì) 學(xué)習(xí)這些性質(zhì)，有助于對(duì)概念的理解和對(duì)信號(hào)進(jìn)行級(jí)數(shù)展開。 一 . 線性： 若 和 都是以 為周期的信號(hào)，且 () F kx t a? ?? () F ky t b? ??()xt ()yt T則 ( ) ( ) FkkA x t B y t A a B b? ? ?? ?二 .時(shí)移 : 三 .反轉(zhuǎn) : 000() j k tF kx t t a e ??? ? ??() Fkx t a? ??若 是以 為周期的信號(hào)，且 ()xt T則 02T?? ?若 是以 為周期的信號(hào)，且 ()xt T() F kx t a? ?? 則 () F kx t a ?? ? ??四 .尺度變換 : 若 是以 為周期的信號(hào)，且 ()xt T() F kx t a? ?? 則 以 為周期，于是 ()x at /Ta0/( ) ( ) j k a tF kTaax a t b x a t e d tT??? ?? ? ?令 ，當(dāng) 在 變化時(shí)， 從 變化， at ?? t 0 ~ /Ta ? 0~T于是有： 01 () jkkkTb x e d aT????????() F kkx a t b a? ? ?? ?五 . 相乘 : 若 和 都是以 為周期的信號(hào)，且 () F kx t a? ?? () F ky t b? ??()xt ()yt T則 01( ) ( ) ( ) ( ) j k tFk Tx t y t C x t y t e d tT??? ?? ? ?g001 ()j l t j k tkl TlC a e y t e d tT ????? ? ?? ?? g也即 0()1 () j k l tk l l k lTllC a y t e d t a bT ??????? ? ? ? ? ??????( ) ( ) F l k l k klx t y t a b a b??? ? ?? ? ?? ? ??六 .共軛對(duì)稱性 : 若 是以 為周期的信號(hào)，且 ()xt T () Fkx t a? ??則 ??? ? ?? katx )(由此可推得， 對(duì)實(shí)信號(hào)有 ： 或 kkaa??? kkaa? ??kjkka A e ??時(shí)有： k k k kAA ????? ? ?當(dāng) 七 .Parseval 定理： ????????kkTadttxT22)(1表明： 一個(gè)周期信號(hào)的平均功率就等于它所有諧波分量的平均功率之和 . * 掌握表 對(duì)實(shí)信號(hào)， 當(dāng) 時(shí)， ( ) ( )x t x t??kkaa??（實(shí)偶函數(shù)） 當(dāng) 時(shí)， ( ) ( )x t x t? ? ?kkaa ???（虛奇函數(shù)） k
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