方差分析及回歸分析(編輯修改稿)
2025-07-08 12:55 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 ? 由 (ns)= (12)=，得 ? 故 μ1 – μ2 ， μ1 – μ3 ， μ2 –μ3的置信水平為 信區(qū)間分別為 .,?,?,0 0 0 0 1 ..2?????????????????????xxxxxxxxxxsnSE????????52101671 )11()( 4 ???????kjE nnSsnt? 例 6 設(shè)在第二個例子中，四類電路的響應(yīng)時間的總體均為正態(tài)分布，切割總體的方差相同，但參數(shù)未知，并且個樣本相互獨立。取水平α=，檢驗各類電路的響應(yīng)時間是否有顯著差異。 )0,()(),()(),()(???????????????? 解 以 μ1 ， μ2 ， μ3 ， μ4 ， 記類型 ⅰ ， ⅱ ，ⅲ ， ⅳ 四種電路的響應(yīng)時間總體平均值。我們需要檢驗： ? H0 ： μ1 = μ2 = μ3 = μ4 ， ? H1 ： μ1 ， μ2 ， μ3， μ4不全相等 ? 由于 n=18,s=4,n1 = n2 = n3 =5,n4 =3， 18386]359)9214194(51[183868 9 9 22222212..2.1 122..2?????????????????? ??? ?ATEsj jjAsjniijTSSSnTnTSnTXSj? 因為 (3,14)=，故在水平 H0，認為各類型電路的響應(yīng)時間有顯著差異。 方差來源 平方和 自由度 均方 F比 因素 誤差 3 14 2825 總和 17 一元線性回歸 本節(jié)的內(nèi)容提綱 （一）一元線性回歸的概念和數(shù)學模型 （二） a、 b的估計 （三） σ2的估計 （四）線性假設(shè)的顯著性檢驗 （五）系數(shù) b的置信區(qū)間 （六）回歸函數(shù) μ(x)=a+bx函數(shù)值的點估計和置信區(qū)間 （七） Y的觀測值的點預測和預測區(qū)間 第三節(jié)、一元線性回歸 ? 兩個變量之間的關(guān)系包括： 1. 確定性關(guān)系：能用函數(shù)關(guān)系表達； 2. 非確定性關(guān)系：就是相關(guān)關(guān)系。 ? 回歸分析：研究相關(guān)關(guān)系的一種數(shù)學工具。 一、一元線性回歸 ? 回歸：設(shè) y是隨機變量，若對于 x的每一確定值，y有它的分布。若 y的數(shù)學期望存在，且是 x的函數(shù)，記為 μ(x),稱 μ(x)為 y關(guān)于 x的回歸。 1. 預測問題：在給定的置信度下，估計出當 x取某一定值時，隨機變量 y的取值情況； 2. 控制問題：在給定的置信度下，控制自變量 x的取值范圍，使 y在給定的范圍內(nèi)取值； 回歸分析的任務(wù) ? 主要是根據(jù)試驗，估計回歸函數(shù)，討論點估計、區(qū)間估計、假設(shè)檢驗等問題。 ? 設(shè) x取值為 x1,x2,…,x n設(shè) Y1,Y2,…,Y n為在 x1,x2,…,x n的觀測結(jié)果，則稱 (x1, Y1),(x2, ,Y2),…, (xn ,Yn )是一個樣本。相應(yīng)的樣本值是： (x1, y1),(x2, y2),…,(xn ,yn )。 1. 回歸函數(shù) μ(x)的估計。 ? 在直角坐標系中描出散點圖，粗略得出 μ(x) ? 例 1 為研究某一化學反應(yīng)過程中溫度 (x,)與產(chǎn)品得率 y的影響。得數(shù)據(jù)如下表： ? 其散點圖如右 ? 從圖中可以看出 它是一條直線， 因此 μ(x) 具有形式 μ(x)=a+bx 溫度 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 得率 45 51 54 61 66 70 74 78 85 89 100 120 140 160 180 60 80 100 40 ? 設(shè) Y關(guān)于 x的回歸函數(shù)為 μ(x)。利用樣本來估計μ(x)的問題稱為求 Y關(guān)于 x的回歸問題。 ? 若 μ(x)是線性函數(shù) μ(x)=a+bx， 此時的估計問題稱為求一元線性回歸問題。 ? 一元線性回歸模型： 設(shè) Y~N(a+bx, σ2 )其中 a,b, σ2是未知參數(shù)，記 ε = Y（ a+bx），則 Y= a+bx + ε, ε ~N(0, σ2 ) （ 1） 稱上式為一元線性回歸模型。 稱 a+bx為 x的線性函數(shù)，而 ε ~N(0, ζ2 )是隨機誤差 。 二、 a、 b的估計 ? 取 x的 n個完全不相同的值 x1,x2,…,xn，作獨立試驗，得樣本 (x1, Y1),(x2, ,Y2),…,(xn ,Yn )，于是 ? Y= a+bxi + εi , εi ~N(0, σ2 )；各 εi獨立 （ 2） ? Yi ~N(a+bxi, σ2 )， Y1,Y2,…,Y n的聯(lián)合概率密度為 ? 利用最大似然估計法來估計未知參數(shù) a、 b。令 ????????????niiiniinibxaybxayL122221])(21e x p [)21(])(21e x p [21???????????niii bxaybaQ12)(),(? 則變?yōu)榍?Q(a,b)的最小值。 ? 令 ? 得方程組： ? 稱這個方程組為正規(guī)方程組。 ?????????????????????????0)(20)(211niiiiniiixbxaybQbxayaQ?????????????????????niiiniiniiniiniiyxbxaxybxna112111)()()(? 正規(guī)方程組的系數(shù)行列式為 ? 故正規(guī)方程組有唯一一組解 ?? ?????? ???? ?????????????????niininiiiniiniiniixxnxxnxxxn121 1221211 0)()(????????????????????????? ?? ? ?????? ?? ? ?xbyxnbynaxxnyyxxxxnyxyxnbniiniiniiniiininiiinininiiiii??1?)())(()())((?111211 1221 1 1??????niinii ynyxnx111,1這里? 這時我們把 作為回歸函數(shù)μ(x)=ax+b 的估計。稱為 Y關(guān)于 x的經(jīng)驗回歸函數(shù)。 ? 稱方程 為經(jīng)驗回歸方程，簡稱回歸方程。 ? 也可以把經(jīng)驗回歸方程寫為 ? 若記
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