[研究生入學(xué)考試]第六章數(shù)理統(tǒng)計基礎(chǔ)(編輯修改稿)
2025-02-15 15:39 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 來自總體，樣本的觀測值中含有總體各方面的信息，但這些信息較為分散，有時顯得雜亂無章。為將這些分散在樣本中有關(guān)總體的信息集中起來以反映總體的各種特征，需要對樣本進行加工。最常用的加工方法是構(gòu)造樣本的函數(shù)，不同的函數(shù)反映總體的不同特征。 定義 1 設(shè) x1， x2， … ， xn為取自某總體的樣本，若樣本函數(shù) T＝ T（ x1， x2， … ， xn）中不含有任何未知參數(shù)，則稱 T為 統(tǒng)計量 。統(tǒng)計量的分布稱為 抽樣分布 。 按照這一定義，若 x1， x2， … ， xn為樣本，則 都是統(tǒng)計量，而當(dāng) μ， σ2未知時， ， 等均不是統(tǒng)計量 . 167。 經(jīng)驗分布函數(shù) 設(shè) x1,x2,...,xn 是取自總體分布函數(shù)為 F(x)的樣本 ,若將樣本觀測值由小到大進行排列 ,為 x(1), x(2),..., x(n) ,則 x(1), x(2),..., x(n) 稱為有序樣本，用有序樣本定義如下函數(shù) ?????????????????)()1()()1(,11,2,1,0)(nkknxxnkxxxnkxxxF ?則 是一減右連續(xù)函數(shù) ,且滿足 )(xFn 1)(0)( ?????? nn FF 和由此可見 ,是一個分布函數(shù) ,并稱為 經(jīng)驗分布函數(shù) . 例 總體 X，樣本觀察值 1， 2， 2， 2， 3， 3， 3， 4， 則經(jīng)驗分布函數(shù)為 80, 1 。1/8, 1 2 。( ) 4/8, 2 3 。7/8 , 3 4 。1, 4 。xxF x xxx???????? ? ?????????經(jīng)驗分布函數(shù)如右圖所示： 167。 樣本均值及其抽樣分布 定義 2 設(shè) x1， x2， … ， xn為取自某總體的樣本，其算術(shù)平均值稱為樣本均值，一般用 表示，即 x??????n1iin1 xnnxxx 1...[例 66] 某單位收集到 20名青年人某月的娛樂支出費用數(shù)據(jù)： 79 84 84 88 92 93 94 97 98 99 100 101 101 102 102 108 110 113 118 125 則該月這 20名青年的平均娛樂支出為 對于樣本均值的抽樣分布 ,我們有下面的定理 定理 1 設(shè) x1， x2， … ， xn是來自某個總體 X的樣本 , 為樣本均值 . （ 1）若總體分布為 N（ μσ2） ,則的精確分布為 N（ μσ2/n） 。 （ 2）若總體 X分布未知（或不是正態(tài)分布） ,且 E(X)=μ,D(X)=σ2,則當(dāng)樣本容量 n較大時 , 的漸近分布為 N（ μσ2/n） ,這里的 漸近分布是指 n較大時的近似分布 ??n1iixn1證明 （ 1）由于 為獨立正態(tài)變量線性組合，故 仍服從正態(tài)分布 .另外， xx故 （ 2）易知 為獨立、同分布的隨機變量之 和，且 由中心極限定理， 其中 Φ（ x）為標準正態(tài)分布 .這表明 n較大時 的漸近分布為 N（ μσ2/n） . x167。 樣本方差與樣本標準差 定義 3 設(shè) x1， x2， … ， xn為取自某總體的樣本，則它關(guān)
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