[理學(xué)]格林函數(shù)的應(yīng)用(編輯修改稿)
2025-02-15 14:48 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 ,(00 vrMMGMM?? ? (17) 球域的格林函數(shù)及狄利克雷問題 求解 球域上 的狄利克雷問題： ).,(| zyxfu ??,),(0 ????? zyxuuu zzyyxx ),( 0000 zyxMO(28) (27) 其中 ? 是以 邊界為 為心， 現(xiàn)在利用 靜電源像法 求球的 格林函數(shù) 。 為此， 0OMR在半射線 .?為半徑的球域， 上截取 在球內(nèi)任取一點 1,OM線段 .210 Rrr OMOM ??使 (29) 18 dSnGMfMu ??? ???? )()(0(20) ,4 1),(00 vrMMGMM?? ? (17) ,44 110 PMPMrqr ?? ?0M點 1M 稱為點 的 反演點或?qū)ΨQ點 。 關(guān)于球面 要適當(dāng)選取 電位 在球面 上正好抵消 。 ?則應(yīng)有 滿足關(guān)系式 P設(shè) .210 Rrr OMOM ??是球面上任一點， (29) 0M?為求出格林函數(shù) ),( 0MMG 在點 處放置 單位 正電荷 ， 我們 的值， q 使得這兩個點電荷所產(chǎn)生的 1M在點 處放置 q 單位的負電荷 ， .01PMPMrrq ?19 dSnGMfMu ??? ???? )()(0(20) ,4 1),(00 vrMMGMM?? ? (17) ,001OMPMPMrRrr ?O與 1OPM? 在點 而夾此角 有公共角， 三角形相似。 也就是說我們必須在點 電荷 。 0/ OMRr處放置 由于 POM 0?單位的負 .14110 MMOMrrRv??1M的相應(yīng)兩邊按 (29)式是成比例的， 從而有 因此這兩個 .01PMPMrrq ?,0OMrRq ?由此得 20 dSnGMfMu ??? ???? )()(0(20) ,4 1),(00 vrMMGMM?? ? (17) 那么，以 記 則 (30)式變形為 0OM 的夾角， .114 1),(1000 ??????????MMOMMM rrRrMMG ?? 為球面的 球域的格林函數(shù) 就是 ? 是 (30) OM和 ????????? c o s2141),(02200 rrrrMMG ????????c o s2112210 rrrrrR, 10 10 OMOMOM rrrrrr ???21 dSnGMfMu ??? ???? )()(0(20) ,4 1),(00 vrMMGMM?? ? (17) 利用關(guān)系式 (29) ????????? c o s2141),(02200 rrrrMMG ????????c o s2112210 rrrrrR,210 Rrr OMOM ?? 則可得 ????????? c o s2141),(02200 rrrrMMG .c o s2 402202 ???????RrrRrrR?為了求解原問題 (27)(28)的解，還需算出 .|???nG22 dSnGMfMu ??? ???? )()(0(20) ,4 1),(00 vrMMGMM?? ? (17) 在球面 ? 上， ????????? c o s2141),(02200 rrrrMMG .c o s2 402202 ???????RrrRrrR?RrrGnG?? ????? ||? ??????????2/302200c o s2c o s41??? rrrrrr? ?? ?RrRrrRrrRrRrr?????????2/34022020220c o s2c o s??23 dSnGMfMu ??? ???? )()(0(20) ,4 1),(00 vrMMGMM?? ? (17) 在球面 ? 上， ????????? c o s2141),(02200 rrrrMMG .c o s2 402202 ???????RrrRrrR?RrrGnG?? ????? ||? ? 2/30202202c os241?? RrrRrRR ?????因此，由 (20)得問題 (27)(28)的解的表達式為 ? ???? ???? .c os2),(4 1)( 2/302022020 dSRrrRrRzyxfRMu ??(31) 24 dSnGMfMu ??? ???? )()(0(20) ,4 1),(00 vrMMGMM?? ? (17) 因此，由 (20)得問題 (27)(28)的解的表達式為 ? ???? ???? .c os2),(4 1)( 2/302022020 dSRrrRrRzyxfRMu ??(31) 在 球坐標系 中，表達式 (31)變?yōu)? ?? ? ?? ? ????? 20 0000 ),(4),( RfRru (32) ? ? ,s i nc os2 2/302
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