[理學]93三重積分及其計算(編輯修改稿)
2025-02-15 14:36 本頁面
【文章內容簡介】 0 )( zDd x d ydzd x d y d z??10 2?? z d z解二 先單后重 將 投影到 xoy 面得 D ? 122 ?? yx??? ?? ?? ??D yxdxdydzd x d y d z122][先重后單 ?? ? ? ??????Dr d rrdd x d yyx20102222)1(4)1(???（用極坐標，用對稱性） 此例介紹的是一種計算三重積分的方法，這種方法也具有一定的普遍性，這就是我們將要介紹的柱面坐標系下的計算法 ????????zzryrx??s inc o s? r ),( ?rPx yzo),( zyxM??在柱坐標系下的計算法 設 M(x, y, z)為空間內一點 , 并設點 M在 xoy面上的投影 P的極坐標為 r, ?, 則這樣的三個數(shù) r, ?, z 就叫點 M的柱面坐標 . 規(guī)定 : 0?r+?, 0?? ?2?, –?z+?. 直角坐標與柱面坐標的變換公式 : 三重積分 在柱坐標系和球坐標系下的計算 z x 0 y M r S ? z r =常數(shù) ? 圓 柱 面 z =常數(shù) ? 垂直 z軸的平面 動點 M(r, ?, z) 柱面坐標系的坐標面 z x 0 y z M r S ? P ? r =常數(shù) ? 圓 柱 面 z =常數(shù) ? 垂直 z軸的平面 動點 M(r, ?, z) 柱面坐標系的坐標面 ? =常數(shù) ? 過 z軸的半平面 x z y 0 ? r d? z 平面 z 柱面坐標下的體積元素 元素區(qū)域由六個坐標面圍成 : 半平面 ?及 ?+d? 。 半徑為 r及 r+dr的園柱面 。 平面 z及 z+dz。 x z y 0 ? r d? z 底面積 :rdrd? dz 平面 z+dz . 柱面坐標下的體積元素 元素區(qū)域由六個坐標面圍成 : 半平面 ?及 ?+d? 。 半徑為 r及 r+dr的園柱面 。 平面 z及 z+dz。 x z y 0 ? r d? z 底面積 : rdrd? dz . dv 柱面坐標下的體積元素 元素區(qū)域由六個坐標面圍成 : 半平面 ?及 ?+d? 。 半徑為 r及 r+dr的園柱面 。 平面 z及 z+dz。 所以 : dv = rdrd?dz. ?? ?? dvzyxf ),( .),s i n,c o s(???? ? ??? dzr dr dzrrf所以 然后再把它化為三次積分來計算 . 積分次序一般是先 z次 r后 ? . 積分限是根據(jù) z, r, ? 在積分區(qū)域中的變化范圍來確定 . 例 1 1,:,)( 22222 ???????? zyxzdvzyx ??解 將 投到 xoy 面得 Dxy： ? 122 ?? yx1,10,20 ?????? zrr??? ? ???? ???????2010122222 )()(rr d zzrdrddvzyx103
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