流體力學(xué)－第一講,場(chǎng)論與張量分析初步(編輯修改稿)
2025-02-15 10:07 本頁面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 ?????????????????????????????????2022/2/12 39 4） 證明： 注： 5） rerrrg r ad ?? ??rrkrzjryirxkzrjyrixrgr adr ??????? 1?????????????rxzyxxzyxxr x2121222222????????????bd ivad ivbad iv ???? ??? )(2022/2/12 40 6） 證明：根據(jù)柯青法則 蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家柯青的運(yùn)算法則： 當(dāng)除了一個(gè)矢量之外 ， 其他的矢量都是常數(shù)時(shí) ， 應(yīng)該這樣來變換表達(dá)式 ， 以使得所有常矢量都位于 算子之前 ， 而變量則位于它之后 。 ag r a dad i vad i v ??? ??? ??? )(????????gr adaadi vaaaaaadi vcccc?????????????????????????? )()()()(?2022/2/12 41 7） 證明： br o taar o tbbad i v ?????? ????? )()()()( cc bababa ?????? ???????????)()( abba cc ???? ?????????ar o tbbr o ta ???? ?????br o taar o tb ???? ????X Z Y 順變?yōu)檎? 逆變?yōu)樨?fù) 2022/2/12 42 0)10)9)()82?????????????????aad i v r o td i v g r a dbr o tar o tbar o t??????????在混合乘積中有兩個(gè)矢量相同，必然為 0 2022/2/12 43 ? ? ? ?? ? ? ?? ?? ? ? ? ? ? br o taar o tbbaabbag r a d：ad i vbbd i vabaabababbabababababa： r o tad i vbbd i vabaabbar o tcccccc?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????自證證)()()()()()()()()112022/2/12 44 哈密頓算子對(duì)積分的應(yīng)用： 由 Gauss定理有： ??? ????v Sdsndv ?? ?? ?dsznaynaxnadvzayaxa zyxzyvx ?? ???????????? ),c os (),c os (),c os ()(? ? dsnkznjynixndsdvkzjyixdvssv v????? ??????????????????????????????),c os (),c os (),c os ()(2022/2/12 45 dSndVSV?? ??????? A d SnA d VSV????????? ? ? ?? A d SnBA d VBSV????????? ? ? dSndVSV?? ??????????? 由這些公式可以看出，只要把體積分中的哈密頓算子換成法向單位向量即是面積分的被積函數(shù)。 推廣的高斯公式可以寫為： 高斯公式（ Gauss’s theorem）將體積分與面積分聯(lián)系起來，在流體力學(xué)中十分有用 2022/2/12 46 第二節(jié) 張量初步 ? 前言 ? 張量的定義 ? 張量的表示法 ? 幾種特殊的二階張量 ? 張量的運(yùn)算 2022/2/12 47 一 . 前言 指標(biāo)和符號(hào) 1)自由指標(biāo) 如矢量 ， 其分量可表示為 ， ；則 稱為自由指標(biāo) 。 2)約定求和法則和啞指標(biāo) 約定在同一項(xiàng)中 ， 如有兩個(gè)指標(biāo)相同 ， 就表示對(duì)該指標(biāo)從 1到 3求和 。 這個(gè)約定稱為愛因斯坦求和約定 。 這重復(fù)的指標(biāo)稱為啞指標(biāo) 。 如： a? ia 3,2,1?i i2022/2/12 48 zayaxaxaaxaa：d i v zyxLLjj ?????????????????? ??如kkii babababababa ?????? 332211??jijiiixvvxvvxvvxvvvv??????????????332211)(??2022/2/12 49 符號(hào) (1)克羅內(nèi)克爾符號(hào) ?????????????????10001000110ijijjiji?? 寫成矩陣形式ijkjikjiijjiee??????????:性質(zhì) 各向同性張量，也就是說當(dāng)坐標(biāo)系轉(zhuǎn)動(dòng)后，張量的分量不變 2022/2/12 50 ijij aa ??ijkjik TT ?? 具有替換下標(biāo)的作用 ij??????????????321321332211iaiaiaaaaaaa iiiijjiijj當(dāng)當(dāng)當(dāng)????? ?2022/2/12 51 (2)置換符號(hào) （ ） （ 注：偶排列 123， 231， 312） ????????????奇排列時(shí)為當(dāng)偶排列時(shí)為當(dāng)中有兩個(gè)以上指標(biāo)相同當(dāng)3,2,1,13,2,1,1,0kjikjikjieijkijke ijk? ? ?kjiijkkijkji eeeeeeee ?????(3) 恒等式 ksjtktjsi s tijk ee ???? ????e2022/2/12 52 321 kjiijkij aaaea ?112332331221132231133221312312332211333231232221131211ijaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa???????因?yàn)? 例題 321 kjiijkij aaaea ?2022/2/12 53 例題： ikjijk ebaebbbaaakjiba?????????321321ikjijk eaxeaar ot????????????????????????????????????? izayaaaazyxkjiaotyzzyxr例題： 2022/2/12 54 證明： br o taar o tbbad i v ?????? ????? )()()()( cc bababa ?????? ???????????)()( abba cc ???? ?????????ar o tbbr o ta ???? ?????br o taar o tb ???? ????X Z Y 順變?yōu)檎? 逆變?yōu)樨?fù) ? ?br o taar o tbxbabxaxbabxabaxbabad i vikjjikkijijkikjijkkijijkkjijki?????????????????????????????????????)()(2022/2/12 55 ? ? ? ? ad i vbbd i vabaabbar o t ?????????? ????????? )(? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ad i vbbd i vabaabababbababababa： r o tcccccc??????????????????????????????????????????????????? )()()(證? ?? ? ? ? ad i vbbd i vabaabxabxab
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