【文章內(nèi)容簡介】 三、估計量的評選標(biāo)準(zhǔn) 則稱 為 的 無偏估計量 . ?? ?河南理工大學(xué)精品課程 概率論與數(shù)理統(tǒng)計 稱為用 來估計 的 系統(tǒng)誤差 .因此 , 無偏估計就是說無系統(tǒng)誤差 . ?? ?)?(E ?? ?河南理工大學(xué)精品課程 概率論與數(shù)理統(tǒng)計 【 例 10】 設(shè)總體 X存在均值 μ 與方差 σ 20,則 〖 解 〗 因為 ??????? ??niiXnEXE11)( 樣本均值 是總體均值 μ 的無偏估計 。 X 樣本方差 是總體方差 σ 2的無偏估計 . 2S???????????? ??? ??nii XnXnESE122211)(?????? ????? ??})]([)({})]([)({)1(1 221XEXDnXEXDn inii)(11???niiXEn ,11?? ?? ??nin?????? ??? ??)()()1(1 212 XnEXEnnii河南理工大學(xué)精品課程 概率論與數(shù)理統(tǒng)計 ??????????? ??)()()1(1 22221????nnnni? ?))()1(1 2222 ???? nnn????? 樣本均值 是總體均值 μ 的無偏估計 。 X 樣本方差 是總體方差 σ 2的無偏估計 . 2S所以 2??■ 河南理工大學(xué)精品課程 概率論與數(shù)理統(tǒng)計 易知：對均值 μ,方差 σ20都存在的總體 ,方差的 估計量 2*212212 )(1? SAAXXnnii ????? ???是 有偏估計 : .1)()()?( 222122 ??? ?????nnAEAEE.)?1( 22 ?? ??nnE無偏化 得 : ?)( 2SE河南理工大學(xué)精品課程 概率論與數(shù)理統(tǒng)計 可以證明 :無論總體 X服從何種分布 ,k階 樣本矩 是 k階 總體矩 的無偏估計 ,即有 kkAE ??)(22 )( ??SE??)( XE 因此 ,一般都是 取樣本均值 作為總體均值的估計 量 ,取樣本方差 作為總體方差的估計量 . 2SX河南理工大學(xué)精品課程 概率論與數(shù)理統(tǒng)計 是總體均值 μ 的無偏估計 。并確定常數(shù) a,b使 D(Y)達(dá)到 最小 . 〖 解 〗 因為 )2,1()(,)(2??? knXDXEkkk?? 【 例 11】 設(shè)從存在均值 μ 與方差 σ 20的總體中 ,分 別抽取容量為 n1,n2的兩個獨立樣本 ,其樣本均值分別 為 .證明 :對任意常數(shù) a,b, 21, XX)1(21 ???? baXbXaY 由 期望性質(zhì) 得 : 河南理工大學(xué)精品課程 概率論與數(shù)理統(tǒng)計 )()( 21 XbXaEYE ??)()( 21 XbEXaE ???)( ba ?? ?? 由無偏性知 :Y是 μ 的無偏估計量 . 由 方差 性質(zhì)得 : )()()()( 221221 XDbXDaXbXaDYD ????22212222122 ])1([ ???nananbna ???????河南理工大學(xué)精品課程 概率論與數(shù)理統(tǒng)計 0])1(22[)( 221令???? ?nanaYDdad即 : 21)1(nana ??解得當(dāng) 212211 ,nnnbnnna????時 D(Y)最小 . 由導(dǎo)數(shù)應(yīng)用知 : ■ 河南理工大學(xué)精品課程 概率論與數(shù)理統(tǒng)計 【 例 12】 試證明均勻分布 〖 解 〗 因為 θ 極大似然估計量為 ????????其它,0,0,1)(??xxf中未知參數(shù) θ 的極大似然估計量不是無偏估計 . }{m a x? 1 ini X????而總體分布函數(shù) ??????????.,1,0,0,0)(???xxxxxF河南理工大學(xué)精品課程 概率論與數(shù)理統(tǒng)計 }{m a x? 1 ini X???? 的分布函數(shù)為 ?????????????,1,0,0,0)]([)(?????zzzzzFzFnnn故其概率密度為 ?????????,0,0,)(1?其它???znzzf nn河南理工大學(xué)精品課程 概率論與數(shù)理統(tǒng)計 dzzzfE )()?( ?????????從而 , 不是 的無偏估計 . ???■ dzzn nn ???? 0?1??nn ??河南理工大學(xué)精品課程 概率論與數(shù)理統(tǒng)計 有效性 )?()?( 21 ?? DD ? 則稱 較 為 有效 . 1?? 2?? 同一個參數(shù)的無偏估計可能有多個 ,在容量相同 情況下 ,認(rèn)為取值密集于參數(shù)真值附近的估計量較為 理想 . 由于方差度量隨機變量取值與其數(shù)學(xué)期望的偏 離程度 ,故無偏估計應(yīng)以方差小者為好 . 定義 設(shè) 都是 θ 的無偏估計量 ,若有 ),(?),(? 212211 nn XXXXXX ?? ??河南理工大學(xué)精品課程 概率論與數(shù)理統(tǒng)計 【 例 13】 設(shè)總體 X服從參數(shù)為 θ 的指數(shù)分布 〖 解 〗 因為 ????????其它,0,0,1)。( xexfx???其中 θ 0為未知參數(shù) ,試證 : 易知 服從參數(shù)為 θ/n的指數(shù)分布 ,故 }{m in1 ini XZ ??? 和 都是 θ 的無偏估計 。 X),(m in 21 nXXXnnZ ?? 評定 的有效性 . nZX,)(,)(2nXDXE?? ??所以 , 是 θ 的無偏估計量 . X,)( nZE ??河南理工大學(xué)精品課程 概率論與數(shù)理統(tǒng)計 ,)( ??nZE 所以 , 也是 θ 的無偏估計量 . nZ 于是 , 由于 , ,)()( 2222 ?? ?????????nnZDnnZD 注意到當(dāng) n1時 : ),()( nZDXD ? 在實際問題中常常使用無偏性 、 有效性這兩個標(biāo) 準(zhǔn) .至于一致性請自學(xué) ， 暫存不議 . 故當(dāng) n1時 , 較 為有效 . X nZ ■ 河南理工大學(xué)精品課程 概率論與數(shù)理統(tǒng)計 167。 區(qū)間估計 在參數(shù)估計中 ,除了求出未知參數(shù) θ 的 點估計 外 , 常需給出以一定可信度包含參數(shù) θ 真值的區(qū)間 (置信 區(qū)間 ),這類問題就是 區(qū)間估計 問題 . 一、問題的提出 (思想 ) 河南理工大學(xué)精品課程 概率論與數(shù)理統(tǒng)計 置信區(qū)間 設(shè)總體 X的分布函數(shù) F(x。θ )含有一個 未知參數(shù) θ .對于給定值 α ( 0α 1),若由來自總體 X 的樣本 能確定兩個統(tǒng)計量 nXXX ,..., 21),(?),(? 212211 nn XXXXXX ?? ?? 滿足： ???? ???? 1}??{ 21P※ 則稱隨機區(qū)間 是 θ 的置信度為 1α 的（雙側(cè)） 置信區(qū)間 ， 分別稱為 置信下限 和 置信上限 ,1α 稱為 置信度 . ? ?21 ?,? ??21 ?,? ??關(guān)于定義的說明 .) ,( , , , 是隨機的而區(qū)間沒有隨機性但它是一個常數(shù)雖然未知被估計的參數(shù)??? : 1)},(),({ 2121的本質(zhì)是因此定義中下表達(dá)式???? ???? nn XXXXXXP ??). ,(1 ,1 ) ,(????????的概率落入隨機區(qū)間以而不能說參數(shù)的真值的概率包含著參數(shù)以隨機區(qū)間??河南理工大學(xué)精品課程 概率論與數(shù)理統(tǒng)計 (※) 的 意義 是 :若反復(fù)進(jìn)行多次容量均為 n的抽樣 , 則每個樣本值都確定一個區(qū)間 ,它或包含 θ 的真值 ,或 不包含 θ 的真值 ,按 貝努里大數(shù)定律 可知 :在這樣多的 區(qū)間中 ,包含 θ 真值的區(qū)間約占 100(1α )%,不包含 θ 真值的區(qū)間約占 100α %. 例如 ,α =,反復(fù)抽樣 1000次 ,得到的 1000個區(qū) 間中包含 θ 真值的區(qū)間約有 990個 ,而不包含 θ 真值的 區(qū)間僅約為 10個 . 河南理工大學(xué)精品課程 概率論與數(shù)理統(tǒng)計 求未知參數(shù) θ 的置信區(qū)間的步驟 : ),。, . . .