概率論數理統(tǒng)計參數估計(編輯修改稿)
2024-10-05 20:20 本頁面
【文章內容簡介】 X? ? ? ?由 于2 2 21 [ ( ) ( ) ]nES D X EX D X EXn? ? ? ??2211[ ( ) ( ) ]nn D X EX D X EXn? ? ? ?? 1 1[ ] = D Xnn D X D Xn???2故 是 方 差 的 無 偏 估 計 量 。S D X2220 1 1 1( ) =n n nES E S ES D X D Xn n n? ? ?但 山東財政學院 221 12020,S D XS D XnSSn??注 ： 定 理 說 明 樣 本 方 差 估 計 方 差 不 會 產 生 “ 系 統(tǒng) 偏 差 ” ，但 是 未 修 正 樣 本 方 差 不 是 的 無 偏 估 計 量 。但 當 n 充 分 大 時 ， 這 時 估 計 量 與 的 差 異 就 不 大 了 。山東財政學院 標準差的點估計 ? ?22111 ?????由 于 是 總 體 方 差 的 無 偏 估 計 量 ，所 以 可 以 用 樣 本 標 準 差作 為 總 體 標 準 差 的 估 計 量 。niiS D XS X XnDXS D X E S D X?注 ： 一 般 不 是 的 無 偏 估 計 量 。 即山東財政學院 是在總體類型已知條件下 ， 利用總體分布的信息對未知參數進行估計的方法 。 它首先是由德國數學家高斯在 1821年提出的 , Gauss 山東財政學院 Fisher 然而，這個方法常歸功于英國 統(tǒng)計學家 費歇爾 . 費歇爾 在 1922年重新發(fā)現了這一方法，并首先研究了這種方法的一些性質 . 山東財政學院 1 2 1 2121 2 1 2( , , )( , , )mmnnmXX X Xx x x??設 總 體 的 分 布 類 型 已 知 ， 但 含 有 未 知 參 數， ， ， （ ， ， ） 。為 來 自 總 體 的 樣 本 ， 有 什 么 好 的 方 法能 由 樣 本 值 求問 題 ：未 知 參 數 ， ， 較 好的 估 計 值 呢 ？? ? ? ? ? ?? ? ?山東財政學院 基本思想 最大似然原理 應 尋 找 使 試 驗 結 果 ( 即 樣 本 值 ） 出 現 的 可 能 性 最 大 的那 個 作 為 真 值 的 估 計 值 。??最大似然原理的直觀想法是：在試驗中概率 最大的事件最有可能出現。因此，一個試驗 如有若干個可能的結果，若在一次試驗中， 結果 A出現，則一般認為 A出現的概率最大 . 山東財政學院 ????在 已 知 總 體 概 率 分 布 時 ， 對 總 體 進 行 次 觀 測 ，得 到 一 個 樣 本 ， 選 取 概 率 最 大 的 值 作 為 未 知參 數 的 真 值 的 估 計 是 最 合 理 的 。Xn山東財政學院 似然函數與最大似然估計量 設 離散型 總體 X的概率分布為 12{ } ( , , , , )mP X x p x ? ? ??? 為來自總體 X的樣本 (X1,X2,…, Xn) 的 一個觀察值，則樣本的聯合概率分布 ),( 21 nxxx ?1 2 1 2mm? ? ? ? ? ? ??， ， 為 未 知 參 數 ， （ ， ， ） 。山東財政學院 12( , , )mL ? ? ? ?121( 。 , , )nimipx ? ? ??? ?似然函數 1 1 2 2{ , }nnP X x X x X x? ? ?1 2 1 212? ? ?( , , , ) , , , , ,mmmL ? ? ? ? ? ?? ? ?應 選 取 使 達 到 最 大 值 的作 為 的 估 計 值 是 最 合 理 的 。山東財政學院 121 2 1 2( , , , )? ? ?( , , , ) ma x ( , , , )mmmLL ? ? ?? ? ? ? ? ????即的分別為則稱 mm ?????? ,?,?,? 2121 ??最大似然估計值 (MLE). maximum likelihood estimate 山東財政學院 12~ ( 。 , , , )mX X f x若 是 隨 機 變 量 ， ，連 續(xù) 型 ? ? ?1 2 1 2mm? ? ? ? ? ? ??， ， 為 未 知 參 數 ， （ ， ， ） 。 為來自總體 X的樣本 (X1,X2,…, Xn) 的一個觀察值，則樣本的聯合概率密度為 ),( 21 nxxx ?山東財政學院 12( , , )mL ? ? ? ?121( 。 , , )nimifx ? ? ??? ? 似然函數 12( , , )nf x x x121 2 1 2( , , , )? ? ?( , , , ) ma x ( , , , )mmmLL ? ? ?? ? ? ? ? ????1
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